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2005年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）

理科數學

YCY

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分． 第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分．

第I卷

注意事項：

1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上，考生要認真核對答題卡粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人準考證號、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效．

3．考試結束，臨考員將試題卷、答題卡一并收回．

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么              球的表面積公式     

P(A+B)=P(A)+P(B)                    

如果事件A、B相互獨立，那么          其中R表示球的半徑

P(A?B)=P(A)?P(B)                  

如果事件A在一次試驗中發生的概率是    球的體積公式

P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k        

次的概率         其中R表示球的半徑

1．設集合（  I  B）=     （    ）

       A．{1}                    B．{1，2}               C．{2}                     D．{0，1，2}

2．設復數：為實數，則x=                            （    ）

       A．－2                    B．－1                     C．1                        D．2

3． “a=b”是“直線”的                       （    ）

       A．充分不必要條件                                 B．必要不充分條件

       C．充分必要條件                                    D．既不充分又不必要條件

4．的展開式中，含x的正整數次冪的項共有                                      （    ）

       A．4項                    B．3項                    C．2項                    D．1項

5．設函數為                                                         （    ）

       A．周期函數，最小正周期為              B．周期函數，最小正周期為

       C．周期函數，數小正周期為             D．非周期函數

6．已知向量        （    ）

       C．120°                 D．150°

7．已知函數

，下面四個圖象中

8．                                                            （    ）

       A．－1                    B．1                        C．－                  D．

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為                                                                （    ）

       A．               B．                C．                D．

10．已知實數a, b滿足等式下列五個關系式                                      

       ①0<b<a                   ②a<b<0                   ③0<a<b                   ④b<a<0            ⑤a=b

       其中不可能成立的關系式有                                                                             （    ）

       A．1個                    B．2個                    C．3個                    D．4個

11．在△OAB中，O為坐標原點，，則△OAB的面積達到最大值時，                                                  （    ）

       A．                     B．                      C．                      D．

12．將1，2，…，9這9個數平均分成三組，則每組的三個數都成等差數列的概率為（    ）

       A．                    B．                    C．                  D．

第Ⅱ卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共15分，請將答案填在答題卡上.

試題詳情

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三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

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一、選擇題

1．D  2．A  3．A  4．B  5．B  6．C  7．C  8．C  9．C  10．B  11．D  12．A

二、填空題

13．         14．      15．       16．③④

三、解答題

17．解：（1）將得

（2）不等式即為

即

①當

②當

③.

18．解：

19．解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，

，設平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設平面D₁EC的法向量，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁―EC―D的大小為.

21．解：（1）方法一 用數學歸納法證明：

1°當n=1時，

   ∴，命題正確.

2°假設n=k時有

   則

而

又

∴時命題正確.

由1°、2°知，對一切n∈N時有

方法二：用數學歸納法證明：

       1°當n=1時，∴；

    2°假設n=k時有成立，

       令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設

有：即

也即當n=k+1時  成立，所以對一切

   （2）下面來求數列的通項：所以

,

又b_n=－1，所以

22．解：（1）設切點A、B坐標分別為，

∴切線AP的方程為：

  切線BP的方程為：

解得P點的坐標為：

所以△APB的重心G的坐標為 ，

所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因為

由于P點在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.