2003年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）
數學（理工農醫類）
考生注意：
1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚．
2．本試卷共有22道試題，滿分150分．考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．
3．華東師大二附中、大同中學、格致中學考生請注意試卷最后的符號說明．
一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
（1）函數
的最小正周期T=
.
（2）若
是方程2cos（x＋a）＝1的解，其中a∈（0，2p），則a＝
.
（3）在等差數列｛an｝中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝ .
（4）在極坐標系中，定點
，點B在直線rcosq＋rsinq＝0上運動，當線段AB最短時，點B的坐標是
.
（5）在正四棱錐P－ABCD中，若側面與底面所成二面角的大小為60°，則異面直線PA與BC所成的大小等于 .（結果用反三角函數值表示）
（6）設集合A={x| |x|<4}，B={x|
x2－4x＋3<4}，則集合{x| x∈A且x A∩B }=
.
（7）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，則∠ABC= .（結果用反三解函數值表示）
（8）若首項為a1，公比為q的等比數列｛an｝的前n項和總小于這個數列的各項和，則首項a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）= .
（9）某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成。現從中隨機選出兩位作為成果發布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為 .（結果用分數表示）
（10）方程x3+lgx=18的根x≈ .（結果精確到0.1）
（11）已知點
，
，
，其中n為正整數.設Sn表示△ABC外接圓的面積，則
＝
.
（12）給出問題：是F1、F2雙曲線
的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點的F2距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸上為8，由||PF1|－| PF2||＝8，即|9－| PF2||＝8，得| PF2|＝1或17.
該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據填在下面空格內;或不正確，將正確結果填在下面空格內.
．
（13）下列函數中，既為偶函數又在（0，p）上單調遞增的是
（A）y=tg|x|. （B）y＝cos（－x）.
二、選擇題（本在題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分.
（C）
（D）
（14）在下列條件中，可判斷平面a與b平行的是
（A）a、b都垂直于平面g.
（B）a內存在不共線的三點到b的距離相等.
（C）l，m是a內兩條直線，且l∥b, m∥b.
（D）是兩條異面直線，且l∥a, m∥a, l∥b, m∥b.
（15）設a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實數，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和 a2x2＋b2x＋c2>0的解集分別為集合M和N，那么
是“M＝N”的
（A）充分非必要條件． （B）必要非充分條件 ．
（C）充要條件． （D）既非充分又非必要條件．
（16）f（x）是定義在區間[－c，c]上的奇函數，其圖象如圖所示.令g（x）=af（x）+b，則下列關于函數g（x）的敘述正確的是
（A）若a<0，則函數g（x）的圖象關于原點對稱.
（B）若a＝1，0<b<2，則方程g（x）=0有大于2的實根.
（C）若a＝－2，b＝0，則函數g（x）的圖象關于y軸對稱.
（D）若a≠1， b＝2，則方程g（x）=0有三個實根.
（17）（本題滿分12分）
已知復數z1=cosq－i，z2=sinq＋i，求|z1?z2|的最大值和最小值.
（18）（本題滿分12分）
三、解答題（本大題滿分86分）本大題共6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB＝4，AD＝2.若B1D⊥BC，直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面體ABCD－A1B1C1D1的體積.
（19）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小滿分5分，第2小題滿分9分．
已知數列{an}（n為正整數）是首項為a1，公比為q的等比數列．
（1）求和：
（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數n的一個結論，并加以證明;
（20）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，某隧道設計為以雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個隨圓的形狀．
（1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？
（半個橢圓的面積公式為
，柱體體積為：底面積乘以高，本題結果均精確到0.1米）
（21）（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．
在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點，已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零．
（1）求向量
的坐標;
（2）求圓x2－6x+y2+2y＝0關于直線OB對稱的圓的方程;
（3）是否存在實數a，使拋物線y＝ax2－1上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由;若存在，求a的取值范圍．
（22）（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分86分，第3小題滿分7分．
已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體;
存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x＋T）=T f（x）成立．
（1）函數f（x）＝x是否屬于集合M？說明理由;
（2）設函數f（x）＝ax（a >0且a≠1）的圖象y=x與的圖象有公共點，證明：f（x）= ax∈M;
（3）若函數f（x）＝sink x∈M，求實數k的取值范圍．
符號意義
本試卷所有符號
等同于《實驗教材》符號
正切、余切
tg、ctg
tan、cot
2003年普通高等學校招生全國統一考試（上海卷）
說明
1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精進行評分。
2．評閱試卷，應堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。
一、（第1題到第12題）
（1）p （2）
（3）－49 （4）
（5）arctg2 （6）[1，3] （7）
（8）
（a1>0，0<q<1的一組數）
（9）
（10）2.6 （11）4p （12）|PF2|=17
二、（第13題至第16題）
（13）C （14）D （15）D （16）B
三、（第17題至第22題）
（17）[解] |z1?z2| = |1+sinq cosq +（cosq－sinq ）i|
故|z1?z2|的最大值為
，最小值為
．
（18）[解]連結BC，因為B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD．
在△BCD中，BC=2，CD=4，
所以
又因為直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB＝30°，于是
故平行六面體ABCD－A1B1C1D1的體積為
（19）[解]（1）
（2）歸納概括的結論為：
若數列｛an｝是首項為a1，公比為q的等比數列，則
，n為整數．
證明：
（20）[解]（1）如圖建立直角坐標系，則點p（11，4.5），
橢圓方程為
將b=h＝6與點p坐標代入橢圓方程，得
，此時
因此隧道的拱寬約為33.3米．
（2）由橢圓方程
得 
因為
即ab≥99，且l＝2a，h＝b，
所以
當S取最小值時，有，得
故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米，土方工程量最小．
[解二]由橢圓方程得
于是
即ab≥99，當S取最小值時，有
得以下同解一．
（21）[解]（1）設
，則由
即
得
或
因為
所以 v－3>0，得 v＝8，故 
（2）由
得B（10，5），于是直線OB方程：
由條件可知圓的標準方程為：（x－3）2＋（y＋1）2＝10，
得圓心（3，－1），半徑為
設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x，y），則
得
故所求圓的方程為（x－1）2＋（y－3）2＝10．
（3）設P（x1，y1），Q（x2，y2）為拋物線上關于直線OB對稱的兩點，則
得
即x1、x2為方程
的兩個相異實根，
于是由
得
故當
時，拋物線y =ax2－1上總有關于直線OB對稱的兩點．
（22）[解]（1）對于非零常數T，f （x+T）=x+T，Tf （x）＝Tx．
因為對任意x∈R，x+T =Tx不能恒成立，
所以f （x）＝x M ．
（2）因為函數f （x）=ax （a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，
所以方程組：
有解，消去y得ax=x，
顯然x=0不是方程的ax=x解，所以存在非零常數T，使aT=T．
于是對于f （x）=ax ，有
f （x＋T）=ax+T = aT?ax=T?ax =T f （x），
故f （x）=ax∈M．
（3）當k=0時，f （x）=0，顯然f （x）=0∈M．
當k≠0時，因為f （x）=sinkx∈M，所以存在非零常數T，
對任意x∈R，有
f （x＋T）= T f （x）成立，即sin（kx＋kT）= T sinkx．
因為k≠0時，且x∈R，所以kx∈R，kx＋kT∈R，
于是sinkx∈[－1，1]，sin（kx＋kT） ∈[－1，1]，
故要使sin（kx＋kT） = Tsinkx成立，只有T=±1．
當T＝1時，sin（kx＋k）= sinkx成立，則k=2mp，m∈Z．
當T＝－1時，sin（kx－k）= －sinkx成立，
即sin（kx－k＋p） = sinkx成立，
則－k＋p =2mp，m∈Z，即k= －（2m－1） p，m∈Z．
綜合得，實數k的取值范圍是{k | k= mp，m∈Z }．
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