數學應用性問題怎么解
陜西永壽縣中學 特級教師安振平
數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化,這就需要建立恰當的數學模型,這當中,函數,數列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應在復課時引起重視.
例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室。據調查統計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時間的推移，去健身房的人數能否趨于穩定？
講解: 引入字母,轉化為遞歸數列模型.
設第n次去健身房的人數為an，去娛樂室的人數為bn，則.
.
，于是
即 .
.故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.
上述解法中提煉的模型, 使我們聯想到了課本典型習題（代數下冊P.132第34題）
已知數列的項滿足
其中，證明這個數列的通項公式是
有趣的是, 用此模型可以解決許多實際應用題, 特別, 2002年全國高考解答題中的應用題(下文例9)就屬此類模型.
例2 某人上午7時乘摩托艇以勻速V千米/小時（4≤V≤20）從A港出發前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛去，在同一天的16時至21時到達C市, 設汽車、摩托艇所需的時間分別是x小時、y小時，若所需經費元，那么V、W分別為多少時，所需經費最少？并求出這時所花的經費.
講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數模型進行求解.
由于又
則z最大時P最小.
作出可行域，可知過點（10，4）時, z有最大值38，
∴P有最小值93，這時V=12.5，W=30.
視這是整體思維的具體體現, 當中的換元法是數學解題的常用方法.
例3 某鐵路指揮部接到預報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經測算，其工程量除現有施工人員連續奮戰外，還需要20輛翻斗車同時作業24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.
講解: 引入字母, 構建等差數列和不等式模型.
由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，…, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數列，且
，化簡可得.
解得.
可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內完成.
對照此題與2002年全國高考文科數學解答題中的應用題, 你一定會感覺二者的解法是大同小異的. 學習數學就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯想, 力求尋找恰當的解題方案.
例4 某學校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設計這幢宿舍樓的樓高層數，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之和）.
例5 在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時岸邊有一人,從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？
講解: 不妨畫一個圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進而想法建立數學模型.
設船速為v，顯然時人是不可能追上小船，當km/h時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設船速為v，人追上船所用
時間
為，人要追上小船，則人船運動的路線滿足如圖所示的三角形.
由余弦是理得
即
整理得.
要使上式在（0，1）范圍內有實數解，則有且
解得.
故當船速在內時，人船運動路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當船速為2.5km/h時, 人可以追上小船.
涉及解答三角形的實際應用題是近年高考命題的一個冷點, 復課時值得關注.
例6 一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度
d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比.
（1）將此枕木翻轉90°（即寬度變為了厚度），枕木的安全負荷變大嗎？為什么？
（2）現有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？
講解:（1）安全負荷為正常數） 翻轉
，安全負荷變大.…4分當 ，安全負荷變小.
∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大.
，當且僅當，即取，
取時，u最大， 即安全負荷最大.
三次函數最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學過導數知識, 其解法就更為方便, 省去了應用均值不等式時配湊“定和”或“定積”的技巧性.
例7 已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用
甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物
內至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.
甲
乙
丙
維生素A（單位/千克）
600
700
400
維生素B（單位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
（1）用x，y表示混合食物成本c元；
（2）確定x，y，z的值，使成本最低.
講解:（1）依題意得 .
（2）由 , 得
，
當且僅當時等號成立.,
∴當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.
線性規劃是高中數學的新增內容, 涉及此類問題的求解還可利用圖解法, 試試看.
例8 隨著機構改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現有職員人（140<<420，且為偶數），每人每年可創利萬元.據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉所需人數不得小于現有職員的，為獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？
講解 設裁員人，可獲得的經濟效益為萬元,則
=
依題意 ≥
∴0<≤.
又140<<420, 70<<210.
(1)當0<≤,即70<≤140時， , 取到最大值;
(2)當>,即140<<210時， , 取到最大值;
綜上所述，當70<≤140時，應裁員人；當140<<210時，應裁員人.
在多字母的數學問題當中，分類求解時需要搞清：為什么分類？對誰分類？如何分類？
例9 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛?
講解 設2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則
，
所以，當時，，兩式相減得：
（1）顯然，若，則，即，此時
（2）若，則數列為以為首項，以為公比的等比數列，所以，.
（i）若，則對于任意正整數，均有，所以，，此時，
（ii）當時，，則對于任意正整數，均有，所以，，
由，得
，
要使對于任意正整數，均有恒成立，
即
對于任意正整數恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 , 得
,
上式恒成立的條件為：，由于關于的函數單調遞減，所以，.
例10 為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業性貸款利率如下：
貸款期(年數)
公積金貸款月利率(‰)
商業性貸款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要購買一套商品房，計劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
(1)汪先生家每月應還款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業貸款也一次性還清；那么他家在這個月的還款總數是多少?
(參考數據：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
講解 設月利率為r，每月還款數為a元，總貸款數為A元，還款期限為n月
第1月末欠款數 A(1＋r)－a
第2月末欠款數 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款數 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
……
第n月末欠款數
得：
對于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
∴
對于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
(2)至12年末，汪先生家按計劃還款以后還欠商業貸款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上當月的計劃還款數2210.59元，當月共還款43880.12元．
需要提及的是，本題的計算如果不許用計算器，就要用到二項展開式進行估算，這在2002年全國高考第（12）題中得到考查.
例11 醫學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數與天數的關系記錄如下表. 已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過108的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．
（1）為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）
（2）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）
已知：lg2=0.3010．
講解 （1）由題意病毒細胞關于時間n的函數為, 則由
兩邊取對數得 n27.5,
即第一次最遲應在第27天注射該種藥物.
（2）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為,
再經過x天后小白鼠體內病毒細胞為,
由題意≤108，兩邊取對數得
，
故再經過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．
本題反映的解題技巧是“兩邊取對數”，這對實施指數運算是很有效的.
例12 有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質的克數，我們稱為在時刻t時的湖水污染質量分數，已知目前污染源以每天p克的污染物質污染湖水，湖水污染質量分數滿足關系式g(t)= +［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質量分數.
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；
（2）求證：當g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？
講解（1）∵g(t)為常數, 有g(0)-=0, ∴g(0)= .
(2) 我們易證得0<t1<t2, 則
g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
∴g(t1)<g(t2) .
故湖水污染質量分數隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.
(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設經過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
∴=e，∴t= ln20，
故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.
高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現.當然,數學高考應用性問題關注當前國內外的政治,經濟,文化, 緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線.
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