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解析幾何題怎么解

安振平     

       高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,  這點值得考生在復課時強化.

    例1  已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.

(1)寫出直線的方程；

   （2）計算出點P、Q的坐標；

   （3）證明：由點P發(fā)出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q.                  

   講解:  通過讀圖,  看出點的坐標.

(1 ) 顯然,  于是 直線

的方程為；

   （2）由方程組

解出  、；              

   （3）,

        .

   由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.

       需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

例2  已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．

   講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程,

   由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為

代入橢圓方程 得

化簡后，得關于的一元二次方程

于是其判別式

由已知，得△=0．即  ①

在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得

 令頂點P的坐標為（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即為所求頂點P的軌跡方程．

       方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎?

   例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是

 （1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

  講解：∵（1）原點到直線AB：的距離.

     故所求雙曲線方程為

（2）把中消去y，整理得 .

     設的中點是，則

即

故所求k=±.

為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程.

   例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F₁PF₂的最大值為90°，直線l過左焦點F₁與橢圓交于A、B兩點，△ABF₂的面積最大值為12．

  （1）求橢圓C的離心率；

  （2）求橢圓C的方程．

   講解：（1）設, 對 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：

   i) 當k存在時，設l的方程為………………①

  橢圓方程為

 由   得   .

于是橢圓方程可轉化為  ………………②

將①代入②，消去得     ,

整理為的一元二次方程，得       .

則x₁、x₂是上述方程的兩根．且

，

ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得

由①②知S的最大值為  由題意得=12  所以   

  故當△ABF₂面積最大時橢圓的方程為：

下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：

設過左焦點的直線方程為：…………①

（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）

橢圓的方程為：

由得：于是橢圓方程可化為：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的兩根.

,

AB邊上的高,

從而

當且僅當m=0取等號，即

    由題意知,  于是  .

    故當△ABF₂面積最大時橢圓的方程為：

      例5  已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.

（１）求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.

      講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得

,   

根據(jù)韋達定理，得           

 ∴線段AB的中點坐標為（）. 

 由已知得

  故橢圓的離心率為 .

 （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為

解得     

由已知得

故所求的橢圓方程為 .

      例6   已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；

      （2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.

      講解:（1）由，可得由射影定理，得   在Rt△MOQ中，

  ，

    故，

    所以直線AB方程是

    （2）連接MB，MQ，設由

點M，P，Q在一直線上，得

由射影定理得

即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得

      適時應用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.

    例7   如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變.

（1）建立適當?shù)淖鴺讼担�求曲線E的方程；

（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，

   試確定實數(shù)的取值范圍．

講解: （1）建立平面直角坐標系, 如圖所示 .                                      

    ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |                                        y

      =

∴動點P的軌跡是橢圓 .                                                

∵                                                                                 

∴曲線E的方程是  .

   （2）設直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得

設M₁（,  則

i)  L與y軸重合時，                          

ii)  L與y軸不重合時，

  由①得  

  又∵,

∵  或 

∴0＜＜1 ,                                              

∴ .                  

∵

而  ∴

∴                            

∴ ,  ,

∴的取值范圍是 .   

    值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應當引起警惕.

    例8  直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點.

   （1）求證：;

   （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

  講解: （1）易求得拋物線的焦點.

  若l⊥x軸，則l的方程為.

若l不垂直于x軸，可設,代入拋物線方程整理得             .

綜上可知  .

（2）設，則CD的垂直平分線的方程為

假設過F，則整理得

，.

這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.

       此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長點，復課切忌忘掉課本！

       例9 某工程要將直線公路l一側的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側的P處，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？

       講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標系，則在l一側必存在經A到P和經B到P路程相等的點，設這樣的點為M，則

      |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即   |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在雙曲線的右支上.

故曲線右側的土石層經道口B沿BP運往P處，曲線左側的土石層經道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.

相關解析幾何的實際應用性試題在高考中似乎還未涉及，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎？

解析幾何解答題在歷年的高考中常考常新, 體現(xiàn)在重視能力立意, 強調思維空間, 是用活題考死知識的典范. 考題求解時考查了等價轉化, 數(shù)形結合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學通法.