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高考復習科目：數學      高中數學總復習（五） 

復習內容：高中數學第五章-平面向量

復習范圍：第五章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

1. 長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.

注意：①若為單位向量，則. （） 單位向量只表示向量的模為1，并未指明向量的方向.

②若，則∥. （√）

2. ①=      ②      ③

④設     

        （向量的模，針對向量坐標求模） 

⑤平面向量的數量積：    ⑥     ⑦

⑧

注意：①不一定成立；.

②向量無大�。ā按笥凇�、“小于”對向量無意義），向量的模有大小.

③長度為0的向量叫零向量，記，與任意向量平行，的方向是任意的，零向量與零向量相等，且.

④若有一個三角形ABC，則⁰；此結論可推廣到邊形.

⑤若（），則有. （） 當等于時，，而不一定相等.

⑥?=，=（針對向量非坐標求模），≤.

⑦當時，由不能推出，這是因為任一與垂直的非零向量，都有?=0.

⑧若∥，∥，則∥（×）當等于時，不成立.

3. ①向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得（平行向量或共線向量）.

當與共線同向：當與共線反向；當則為與任何向量共線.

注意：若共線，則  （×）

若是的投影，夾角為，則，  （√）

②設=，

∥    

⊥

③設，則A、B、C三點共線∥=（）

（）=（）（）

（）?（）=（）?（）

④兩個向量、的夾角公式：

⑤線段的定比分點公式：（和）

設 =（或=），且的坐標分別是，則

推廣1：當時，得線段的中點公式：

推廣2：則（對應終點向量）.

三角形重心坐標公式：△ABC的頂點，重心坐標：

注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件.

⑥平移公式：若點P按向量=平移到P^‘，則

4. ⑴正弦定理：設△ABC的三邊為a、b、c，所對的角為A、B、C，則.

⑵余弦定理：

⑶正切定理：

⑷三角形面積計算公式：

設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為h_a，h_b，h_c，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海倫公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下圖]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.

如圖：                                           圖1中的I為S_△ABC的內心， S_△=Pr

                                                 圖2中的I為S_△ABC的一個旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.

內心：三角形三內角的平分線相交于一點.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.

⑸已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]

則：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

證明：因為所以，所以，結論！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一點，則.

證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中線，；

②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；

③若AD是BC上的高，，其中為半周長.

⑻△ABC的判定：

△ABC為直角△∠A + ∠B =

＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜

＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞

附：證明：，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.