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11.3.2 一次函數(shù)與一元一次不等式

知識(shí)庫

    1．解一元一次不等式可以看作是:當(dāng)一次函數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍．

    2．解關(guān)于x的不等式kx+b>mx+n可以轉(zhuǎn)化為：

    （1）當(dāng)自變量x取何值時(shí)，直線y=（k-m）x+b-n上的點(diǎn)在x軸的上方．

    或（2）求當(dāng)x取何值時(shí)，直線y=kx+b上的點(diǎn)在直線y=mx+n上相應(yīng)的點(diǎn)的上方．（不等號(hào)為“<”時(shí)是同樣的道理）

魔法師

    例：用畫圖象的方法解不等式2x+1>3x+4

    分析：（1）可將不等式化為-x-3>0，作出直線y=-x-3，然后觀察：自變量x取何值時(shí)，圖象上的點(diǎn)在x軸上方？

    或（2）畫出直線y=2x+1與y=3x+4，然后觀察：對(duì)于哪些x的值，直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)的點(diǎn)的上方？

    解：方法（1）原不等式為：-x-3>0，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x-3的圖象（圖1）．從圖象可以看出，當(dāng)x<-3時(shí)這條直線上的點(diǎn)在x軸上方，即這時(shí)y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．

    方法（2）  把原不等式的兩邊看著是兩個(gè)一次函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出直線y=2x+1與y=3x+4（圖2），從圖象上可以看出它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x=-3，因此當(dāng)x<-3時(shí)，對(duì)于同一個(gè)x的值，直線y=2x+1上的點(diǎn)在直線y=3x+4上相應(yīng)點(diǎn)的上方，此時(shí)有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．

                   (1)                            (2)

演兵場(chǎng)

    ☆我能選

1．直線y=x-1上的點(diǎn)在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的范圍是（  ）

    A．x>1      B．x≥1      C．x<1      D．x≤1

2．已知直線y=2x+k與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），則關(guān)于x的不等式2x+k<0的解集是（  ）

    A．x>-2      B．x≥-2      C．x<-2      D．x≤-2

3．已知關(guān)于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，則直線y=ax+1與x軸的交點(diǎn)是（  ）

    A．（0，1）      B．（-1，0）     C．（0，-1）      D．（1，0）

    ☆我能填

4．當(dāng)自變量x的值滿足____________時(shí)，直線y=-x+2上的點(diǎn)在x軸下方．

5．已知直線y=x-2與y=-x+2相交于點(diǎn)（2，0），則不等式x-2≥-x+2的解集是________．

6．直線y=-3x-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________，則不等式-3x+9>12的解集是________．

7．已知關(guān)于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，則直線y=-kx+2與x軸的交點(diǎn)是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，則直線y=-x+5與y=3x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)是_________．

    ☆我能答

9．某單位需要用車，準(zhǔn)備和一個(gè)體車主或一國有出租公司其中的一家簽訂合同，設(shè)汽車每月行駛xkm，應(yīng)付給個(gè)體車主的月租費(fèi)是y元，付給出租車公司的月租費(fèi)是y元，y，y分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象是如圖11-3-4所示的兩條直線，觀察圖象，回答下列問題：

    （1）每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租國有出租車公司的出租車合算？

    （2）每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？

（3）如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2300km，那么這個(gè)單位租哪家的車合算？

10．在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y₁=-x+1與y₂=2x-2的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：

    （1）寫出直線y₁=-x+1與y₂=2x-2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．

    （2）直接寫出：當(dāng)x取何值時(shí)y₁>y₂；y₁<y₂

    探究園

12．已知函數(shù)y₁=kx-2和y₂=-3x+b相交于點(diǎn)A（2，-1）

    （1）求k、b的值，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象．

    （2）利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y₁<y₂；②y₁≥y₂

    （3）利用圖象求出：當(dāng)x取何值時(shí)有：①y₁<0且y₂<0；②y₁>0且y₂<0

答案:

1．A  2．C  3．D  4．x>2  5．x≥2  6．（-1，0）；x<-1

7．（-3，0）  8．（2，3）

9．①當(dāng)0<x<1500時(shí)，租國有出租車公司的出租車合算；

    ②1500km；③租個(gè)體車主的車合算

10．①P（1，0）；②當(dāng)x<1時(shí)y₁>y₂，當(dāng)x>1時(shí)y₁<y₂

11．（1）k=、b=5，∴y=x-2、y=-3x+5  圖象略；

    （2）從圖象可以看出：①當(dāng)x<2時(shí)y₁<y₂；②當(dāng)x≥2時(shí)y₁≥y₂；

（3）∵直線y₁=x-2與x軸的交點(diǎn)為B（4，0），

直線y₂=-3x+5與x軸的交點(diǎn)為C（，0），

∴從圖象上可以看出：

①當(dāng)x<4時(shí)y₁<0，當(dāng)x>時(shí)y₂<0，

所以當(dāng)<x<4時(shí)，y₁<0且y₂<0．

②當(dāng)x>4時(shí)，y₁>0；當(dāng)x>時(shí)y₂<0，

∴當(dāng)x>4時(shí)y₁>0且y₂<0．