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1. 圓Γ₁和圓Γ₂相交于點M和N。設l是圓Γ₁和圓Γ₂的兩條公切線中距離M較近的那條公切線。l與圓Γ₁相切于點A，與圓Γ₂相切于點B。設經過點M且與l平行的直線與圓Γ₁還相交于點C，與圓Γ₂還相交于點D。直線CA和DB相交于點E；直線AN和CD相交于點P；直線BN和CD相交于點Q。

求證：EP=EQ。

2. 設a,b,c是正實數，且滿足abc=1。求證：

(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 設n≥2為正整數。開始時，在一條直線上有n只跳蚤，且它們不全在同一點。
對任意給定的一個正實數λ，可以定義如下的一種“移動”：

試確定所有可能的正實數λ， 使得對于直線上任意給定的點M以及這n只跳蚤的任意初始位置，總能夠經過有限多個移動之后令所有的跳蚤都位于M的右邊。

4. 一位魔術師有一百張卡片，分別寫有數字1到100. 他把這一百張卡片放入三個盒子里，一個盒子是紅色的，一個是白色的，一個是藍色的。 每個盒子里至少都放入了一張卡片。 一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，再從這兩個盒子里各選取一張卡片， 然后宣布這兩張卡片上的數字之和。知道這個和之后，魔術師便能夠指出哪一個是沒有從中選取卡片的盒子。 

問共有多少種放卡片的方法，使得魔術總能夠成功？（兩種方法被認為是不同的，如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子）

5. 確定是否存在滿足下列條件的正整數n：n恰好能夠被2000個互不相同的質數整除，且2n+1能夠被n整除。

6. 設AH₁,BH₂,CH₃是銳角三角形ABC的三條高線。 三角形ABC的內切圓與邊BC, CA, AB分別相切于點T₁, T₂, T₃，設直線l₁,l₂,l₃分別是直線H₂H₃, H₃H₁, H₁H₂關于直線T₂T₃, T₃ T₁, T₁T₂的對稱直線。
求證：l₁,l₂,l₃所確定的三角形，其頂點都在三角形ABC的內切圓上。