機密★啟用前 【考試時間：5月5日 15:00～17:00】
昆明市2008~2009學年高三復習適應性檢測
理科數學試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁. 考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。滿分150分，考試用時120分鐘。
第Ⅰ卷（選擇題 ，共60分）
注意事項：
1． 答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號在答題卡上填寫清楚，并認真核準條形碼上的考號、姓名，在規定的位置貼好條形碼。
2． 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試卷上的答案無效。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么 
n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）函數
的定義域是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若復數
滿足
，則在復平面內所對應的點在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）函數
的最小正周期是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）焦點在
軸上，中心在原點的橢圓上一點到兩焦點的距離之和為
，若該橢圓的離心率為
，則橢圓的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若把汽車的行駛路程
看作時間
的函數，下圖是函數
在
上的圖像，則在上汽車的行駛過程為
（A）先加速行駛、然后勻速行駛、再加速行駛
（B）先減速行駛、然后勻速行駛、再加速行駛
（C）先加速行駛、然后勻速行駛、再減速行駛
（D）先減速行駛、然后勻速行駛、再減速行駛
（6）若
+
+…+
+
+
，則
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）在公差不為零的等差數列
中，
，
、、
成等比數列.若
是數列的前
項和，則
是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）2名醫生和4名護士分配到兩所社區醫院進行“健康普查”活動，每所醫院分配1名醫生和2名護士的不同分配方案共有
（A）6種 （B）8種 （C）12種 （D）24種
（9）若函數
存在反函數，則
的取值范圍是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）在正
中，
為
邊上的高，
為邊
的中點.若將沿翻折成直二面角
，則異面直線與
所成角的大小為
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知點
，直線
，
是坐標原點，
是直線
上的一點，若
，則
的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）若是實數，則關于
的方程組
有四組不同實數解的一個充分非必要條件是
（A）
（B）
（C） 
（D）
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昆明市2008~2009學年高三復習適應性檢測
理科數學試卷
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
第Ⅱ卷共3頁，10小題 ,用黑色碳素筆將答案答在答題卡上，答在試卷上的答案無效。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案直接答在答題卡上。
（13）拋物線
的焦點坐標為
.
（14）已知三棱柱
的側棱長與底面邊長都相等，
在底面
的射影是
的中點，則
與側面
所成角的正切值等于
.
（15）某實驗室至少需某種化學藥品
種包裝購買的數量都不能超過5袋，則在滿足需要的條件下，花費最少為 元.
（16）觀察以下等式
1=1
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
… …
寫出一個等式，使之既包含以上四式、又具有一般性質.這個等式是：
.
（17）（本小題10分）
三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
在中，、
、
分別是角
、
、
的對邊，且
.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面積是
，且
，求.
（18）（本小題12分）
如圖，四棱錐
的底面
是正方形，
面．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）設
．為
的中點，求二面角
的大小．
（19）（本小題12分）
某工廠新開發的一種產品有、兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響.若恰有一項技術指標達標的概率為
，至少有一項技術指標達標的概率為
．檢驗規定兩項技術指標都達標的新產品為合格品.
（Ⅰ）求一件新產品經過檢測為合格品的概率
；
（Ⅱ）工廠規定：若每生產一件合格的新產品，該工人將獲得獎金100元；若生產一件不合格的新產品，該工人將被罰款50元．該工人一個月能生產新產品20件，求該工人一個月獲得獎金的數學期望．
（20）（本小題12分）
已知雙曲線焦點在軸上、中心在坐標原點，左、右焦點分別為
、
，
為雙曲線右支上一點，且
，
．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設
,過的直線與雙曲線的兩漸近線分別交于、兩點，
與
同向，
的面積為
．若
，求的斜率
的取值范圍．
（21）（本小題12分）
已知函數
.
（Ⅰ）當
時，若函數
在
上為增函數，求實數的最小值；
（Ⅱ）設函數的圖像關于原點對稱，在點
處的切線為，與函數的圖像交于另一點
.若
在軸上的射影分別為
、
，
，求
的值.
(22)（本小題12分）
已知數列
中，
，
．
（Ⅰ）求、
；
（Ⅱ）求
；
(Ⅲ) 設為數列
的前n項和，證明：
．
昆明市2008~2009學年高三復習適應性檢測
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
（1）B （2）A （3）B （4）A （5）C （6）D
（7）A （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
（13）
（14）
（15）
（16）
三．解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分10分）
（Ⅰ）解法一：由正弦定理得
.
故 
，
又 
，
故 
，
即 
，
故 
.
因為 
，
故 
，
又 
為三角形的內角，
所以
. ………………………5分
解法二：由余弦定理得 
.
將上式代入
整理得
．
故 ，
又 為三角形內角，
所以 ．
………………………5分
（Ⅱ）解：因為
．
故 
，
由已知 
得
又因為 
.
得 
，
所以
，
解得
. ………………………………………………10分
（18）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：
∵
面
，
面，
∴
．
又∵底面是正方形，
∴
．
又∵
，
∴
面
，
又∵面
，
∴平面
平面． ………………………………………6分
（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系
．
設
，則
，在
中，
.
∴
、
、
、
、
、
．
∵
為
的中點，
，
∴
．
設
是平面
的一個法向量．
則由
可求得
.
由（Ⅰ）知
是平面的一個法向量，
且
，
∴
，即
.
∴二面角
的大小為
． ………………………………………12分
解法二：
設，則，
在中，.
設
，連接
，過
作
于
，
連結
，由（Ⅰ）知
面
.
∴在面上的射影為
，
∴
．
故
為二面角
的平面角.
在
中，
，
，
．
∴
，
∴
.
∴
.
即二面角的大小為． …………………………………12分
（19）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：設
、兩項技術指標達標的概率分別為
、
．
由題意得：
…………2分
∴
．
即一個零件經過檢測為合格品的概率為
. …………6分
（Ⅱ）設該工人一個月生產的20件新產品中合格品有
件，獲得獎金
元，則
． ………………8分
～
，
,
………………10分
．
即該工人一個月獲得獎金的數學期望是800元． ………………12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
，
，
由
，
及勾股定理得
，
由雙曲線定義得 
．
則
．
………………………………………5分
（Ⅱ）
，
，故雙曲線的兩漸近線方程為
．
因為
過
， 且
與
同向，故設的方程為
，
則
又
的面積
，所以
．
可得與
軸的交點為
．
設與
交于點，與
交于點，
由
得
；由
得
．
故
，
，
，
從而
．
故
的取值范圍是
. …………………………12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
，
．
又因為函數
在
上為增函數，
在上恒成立，等價于
在上恒成立.
又
，
故當且僅當
時取等號，而
，
的最小值為
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由已知得：函數
為奇函數，
， 
， ………………………………7分
.
切點為
，其中
，
則切線的方程為：
……………………8分
由
，
得
.
又
，
，
，
，
或
，由題意知，
從而
.
，
，
.
………………………………………12分
（22）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解: 由
，
得
，
. …………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）歸納得
， ………………………4分
用數學歸納法證明:
①當
時，成立.
②假設
時，
成立，
那么
所以當
時，等式也成立.
由①、②得對一切
成立. ……………8分
（Ⅲ）證明: 設
，則
，
所以
在
上是增函數．
故
．
即
．
因為
，
故
．
=
.…………12分
本資料由《七彩教育網》www.7caiedu.cn 提供！
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