2009年三明市普通高中畢業班質量檢查
文科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）， 本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上，請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0．5毫米的黑色中性（簽）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆記清楚。
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
樣本數據
，的標準差
錐體體積公式
其中
為底面面積，
為高
其中
為樣本平均數
球的表面積、體積公式
柱體體積公式
其中為底面面積，為高
其中
為球的半徑
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把答案填涂在答題卡上。
1．已知復數
，那么
的值是
A．
B．
C．
D．
2．
設全集
，集合
，則
等于
A．
B．
C．
D．
3．已知直線
與圓
，則圓心C到直線
的距離是
A．
B．
D．
4．已知向量
，若
與
平行，則實數
等于
A．-2 B．
D．
5．設命題
；命題
；則
是
的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．在正方體
中，異面直線
與
所成角的大小為
A．30° B．45° C．60° D．90°
７．已知函數
的圖象，（部分）如圖所示，則
的解析式是
A．
B．
C．
D．
（第７題圖）
8．設
是互不重合的直線，
是不重合的平面，則下列命題為真命題的是
A．
B．
C．
D．
9．已知拋物線
，以（1，1）為中點作拋物線的弦，則這條弦所在的直線的方程為
A．
B．
C．
D．
10．已知定義域為R的函數
，它的圖像關于直線
成軸對稱，又關于點
（3，0）成中心對稱，且
，則
的值等于
A．0 B．
11．已知
，設事件A為“關于
的方程
有實根”，則事件A發生的概率為
A．
B． C．
D．
12．若函數
和
只有定義域不同，而對應法則和值域都相同，則稱和為“同族函數”。設
其中
為非空集合，且的定義域為
，值域為
，則與為“同族函數”的共有
A． 6 個 B．7個 C．8個 D．9個
第II卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應的位置。
13．函數
的最小值是
14． 執行右邊的程序框圖，若
，則輸出的
15．在亞丁灣某海域有一執行任務的甲軍艦獲悉，其正東方向距離20海里處，有一艘貨輪遇海盜襲擊等待營救，甲艦南偏西30°距離10海里處有一艘乙艦，甲、乙兩艦共同實施救援行動，此時乙艦與貨輪的距離是___________海里。
16．某校科技創新活動小組共有32名成員，要從中選出一名成員擔任活動小組的組長，現按以下方法進行：將32名成員進行編號。號碼分別為1，2，3，…，32．并將1，2，3，4，…，32號成員按逆時針方向且面向圓心依此排在一個圓周上，然后按逆時針方向隔一個抽掉一個成員，被抽掉的成員向圓內走一步，如此循環操作直至圓上只留下一個成員而終止，則最后留在圓上的這個成員就是活動小組的組長。若1開始第一個被抽掉，那么用這種方法選出的活動小組組長的號碼是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答。
17．（本小題滿分12分）
如圖，過原點且傾斜角為
的直線交單位圓于點
，C是單位圓與軸正半軸的交點，B是單位圓上第二象限的點，且
為正三角形。
（Ｉ）求
的值；
（II）求
的面積。
18．（本小題滿分12分）
“五?一”放假期間，某旅行社共組織1000名游客，分三批到北京、香港兩地旅游，為了做好游客的行程安排，旅行社對參加兩地旅游的游客人數進行了統計，列表如下：
第一批
第二批
第三批
北京
200
香港
150
160
已知在參加北京、香港兩地旅游的1000名游客中，第二批參加北京游的頻率是0．21．
（I）現用分層抽樣的方法在所有游客中抽取50名游客，協助旅途后勤工作，問應在第三批參加旅游的游客中抽取多少名游客？
（II）已知
，求第三批參加旅游的游客中到北京旅游人數比到香港旅游人數多的概率。
19．（本小題滿分12分）
下列三個圖分別是四棱錐
的直觀圖、側視圖和俯視圖。直觀圖中，側面
底面
，M為AC的中點，側視圖是等邊三角形，俯視圖是直角梯形，尺寸如圖所示。
（I）求證：
（II）求證；
（III）求該四棱錐的體積。
20．(本小題滿分12分)
已知函數
，數列
滿足
（I）求證：數列
是等差數列；
（II）記
，試比較
與1的大小。
21．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，點
，點
是平面上動點，且
成等差數列。
（I）求動點滿足的曲線
方程；
（II）設直線
與曲線交于兩點，試問：當
變化時，是否存在直線，使
的面積為
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。
22．(本小題滿分14分)
已知函數
（其中
是自然對數的底數，
為正數）
（I）若在
處取得極值，且是的一個零點，求的值；
（II）若
，求在區間
上的最大值；
（III）設函數
在區間
上是減函數，求的取值范圍。
2009年三明市普通高中畢業班質量檢查
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C
7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．A
二、填空題：本大題共6小題，共74分
13．5
14．3
15．
16．32
三、解答題：本大題共6小題，共74分
17．解：（I）由三角函數的定義可知
（II）又
為正三角形，
18．解：（I）
第三批旅游人數為
現用分層抽樣的方法在所有游客中抽取50名游客，應在第三批參加旅游的游客中抽取的人數為
（人）
（II）設“第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多”為事件A，第三批參加旅游的游客中到北京游的人數、到香港游的人數記為
由（I）知
，且
則基本事件空間包含的基本事件有
（136，144）（137，143）（138，142）（139，141）（140，140）（141，139）（142，138）
（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133） 共12個。
事件A包含的基本事件有
（141，139）（142，138）（143，137）（144，136）（145，135）（146，134）（147，133）共7個
答：第三批參加旅游的游客中到北京游的人數比到香港游的人數多的概率為
19．解：（I）取
的中點
，連結
在
中，
為
的中點
四邊形
為平行四邊形
（II）
側面
底面
，
平面
,
又
是正三角形，
為的中點，
（III）取
的中點
，連結
,
是邊長為2的正三角形，
又側面
底面
20．解（I）由已知得，
數列
是首項
，公差
的等差數列
（II）由（I）知
21．解:(I)由題意知，
由橢圓定義知，動點
滿足的曲線
方程是:
（II）由方程組
的面積
不存在直線
滿足題意
22．解法一：
（I）由已知
（II）
由此得
時，
單調遞減；
時，單調遞增
當
，即
時，
當
，即
時，
（III）
在
在是減函數，
在
上恒成立
即
在上恒成立
在上恒成立
又
當且僅當
時等號成立。
解法二；（I）,(II)同解法一
（III）
在是減函數，
在上恒成立
即在上恒成立
不妨設
由于
無解。
綜上所述，得出
，即
的取值范圍是
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