2009年福建省三明市普通高中畢業班質量檢查
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），第Ⅱ卷第21題為選考題，其他題為必考題，本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上，請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆記清楚。
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
樣本數據
，的標準差
錐體體積公式
其中
為底面面積，
為高
其中
為樣本平均數
球的表面積、體積公式
柱體體積公式
其中為底面面積，為高
其中
為球的半徑
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把答案填涂在答題卡上。
1．復數
等于
A．
B．
C．
D．
2．雙曲線
的漸近線方程是
A．
B．
C．
D．
3．在
中，已知
為
的中點，則下列向量與
同向的是
A．
B．
C．
D．
4．已知函數
的圖象，（部分）如圖所示，則
的解析式是
A．
B．
C．
D．
5．下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的體積為
A．
B．
C．
D．
6．某市教育部門通過調查10000名高中生參加體育鍛煉的狀況，根據調查數據畫出了樣本分布直方圖（如上圖），為了分析學生參加體育鍛煉與課程學習的關系，采用分層抽樣的方法從這10000人再抽出100人做進一步調查，則在每周參加體育鍛煉的時間落在
小時內的學生中應抽出的人數為
A．15
B．
7．已知函數
在定義域
內可導，其圖象如圖，記的導函數為
，則不等式
的解集為
A．
B．
C．
D．
8．設
、
是不同的直線
、
、
是不同的平面，有以下四個命題
①
； ②
； ③
；④
其中正確的是命題是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
9．若
，命題
；命題
直線
與圓
相交，則
是
的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．如果兩個位數相同的自然數恰好只有某一數位上的數字不相同，則稱這兩個數為相鄰數，例如：123與103、5555與5565分別是兩個相鄰數，若集合
中的元素均為兩位數，且任意兩個數都不是相鄰數，則中的元素最多有
A．8個 B．9個 C．11個 D．12個
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在答題卡相應位置。
11．若正數
、
滿足
則
的最大值為____________。
12．在亞丁灣某海域有一執行任務的甲軍艦獲悉，其正東方向距離20海里處，有一艘貨輪遇海盜襲擊等待營救，甲艦南偏西30°距離10海里處有一艘乙艦，甲、乙兩艦共同實施救援行動，此時乙艦與貨輪的距離是___________海里。
13．由曲線
所圍成的封閉圖形的
面積為__________。
14．運行如圖所示的程序流程圖，則輸出的值為______
_______。
15．已知集合
，直線
的斜率為
，且
，令
則
__________。
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分13分）
如圖，過原點且傾斜角為
的直線交單位圓于點
是單位圓與軸正半軸的交點，
是
單位圓上第二象限的點，且
為正三角形
（I）求
與
的值；
（Ⅱ）現向單位圓內隨機投擲一個點，求該點落在
內的概率。
17．（本小題滿分13分）
某市為提高城市品位，計劃對市內現有全部出租車進行更新換代，在引進新車型的同時淘汰等量的舊車型，現決定2009年1月份更新
輛，以后每個月更新的車輛數比前一個月多輛，兩年時間更新完畢。
（I）問該市的出租車共有多少輛？
（Ⅱ）若從第二個月起，每個月以10%的增長速度進行更新，至少需要多少個月才能更新完畢？（參考數據：
）
18．（本小題滿分13分）
如圖，在長方體
中，
，點
在
側面
內，
、
分別為
、
的中點。
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面
與平面
所成角的余弦值；
（Ⅲ）若
，當為何值時，
面
。
19．（本小題滿分13分）
已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線
的焦點，離心率
，過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點。
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點
是線段
上的一個動點，且
，求的取值范圍；
（Ⅲ）設點
是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點
，使得、、三點共線？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由。
20．（本小題滿分14分）
已知函數
（I）若
時，求的極值；
（Ⅱ）若存在的單調遞減區間，求的取值范圍；
（Ⅲ）若圖象與軸交于
，
的中點為
，
求證：
21．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如
果多做，則按所做的前兩題記分。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2；矩陣與變換
已知矩陣
，向量
（I）求矩陣的特征值
、
和特征向量
、
；
（Ⅱ）求
的值。
（2）（本小題滿分7分）選修4―4；坐標系與參數方程
以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位
的極坐標方程為
，
的參數方程為
（為參數），求、的公共弦的長度。
（3）（本小題滿分7分）選修4―5；不等式選講
若函數
的最小值為2，求自變量的取值范圍
2009年三明市普通高中畢業班質量檢查
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。
11．5 12．
13．
14．7 15．
三、解答題：本大題共6小題，共80分。
16．解：（I）由三角函數的定義可知
又
為正三角形，
（Ⅱ）
圓的面積為
。
該點落在
內的概率
17．解：（I）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為
，公差為的等差數列，設第
個月更新的車輛數為
，則
該市的出租車總數
（輛）
（Ⅱ）依題意，每個月更新的車輛數構成一個首項為，公比為1.1的等比數列，則第
個月更新的車輛數
，設至少需要
個月才能更新完畢，
個月更新的車輛總數
，
即
，由參數數據可得
故以此速度進行更新，至少需要37個月才能更新完該市所有的出租車
18．解（I）
，
為等腰直角三角形，
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則
設平面
的一個法向量為
，
則有
得
平面的一個法向量
而
的一個法向量
平面與平面所成的角的余弦值
（Ⅲ）
，
設平面
的法向量為
，則有
平面的一個法向量為
若要使得
面，則要
，即
解得
， 當時， 面
19．解法一：
（I）設橢圓方程為
，由題意知
故橢圓方程為
（Ⅱ）由（I）得
，所以
，設
的方程為
（
）
代入，得
設
則
由
，
當
時，有
成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點
，使得
、
、
三點共線。
依題意知
，直線BC的方程為
，
令
，則
的方程為
、在直線上，
在軸上存在定點，使得、、三點共線。
解法二：（I）同解法一。
（Ⅱ）由（I）得，所以。
設的方程為
代入，得
設則
當時，有成立。
（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。
設存在
使得、、三點共線，則
，
，
即
，
。
所以，存在，使得、、三點共線。
20．解：（I）
當
時，
由
或
。
x
(0,1)
1
+
―
單調遞增
極大值
單調遞減
時，
，無極小值。
（Ⅱ）
存在單調遞減區間，
在
內有解，即
在內有解。
若
，則
，在單調遞增，不存在單調遞減區間；
若
，則函數
的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點（0，1），要
使在內有解，則應有
或
，由于，
；
若
，則函數
的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點（0，1），
在內一定有解。
綜上，或。
（Ⅲ）依題意：
，假設結論不成立，
則有
①―②，得
由③得，
即
設
，則
，
令
，
在（0，1）上為增函數。
同步練習冊答案
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