第9講 不等式（組）與方程（組）的應用
【例題經典】
例1 （2006年內江市）內江市對城區沿江兩岸的部分路段進行亮化工程建設，整個工程擬由甲、乙兩個安裝公司共同完成．從兩個公司的業務資料看到：若兩個公司合做，則恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再單獨做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙兩公司的工程費用分別為1.2萬元和0.7萬元．
（1）甲、乙兩公司單獨完成這項工程各需多少天？
（2）要使整個工程費用不超過22.5萬元，則乙公司最少應施工多少天？
【點評】（1）利用方程組解決;（2）利用不等式解決，結合實際取值.
例2 （2005年濰坊市）為了加強學生的交通安全意識，某中學和交警大隊聯合舉行了“我當一日小交警”活動，星期天選派部分學生到交通路口值勤，協助交通警察維持交通秩序．若每一個路口安排4人，那么還剩下78人；若每個路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人．求這個中學共選派值勤學生多少人？共在多少個交通路口安排值勤？
【分析】本題與學生生活實際聯系緊密，是一道很好的列不等式組應用題，解決本題應注意路口人數與總人數之間的關系．
例3 華溪學校科技夏令營的學生在3名老師的帶領下，準備赴北京大學參觀，體驗大學生活．現有兩個旅行社前來承包，報價均為每人2000元，他們都表示優惠；希望社表示帶隊老師免費，學生按8折收費；青春社表示師生一律按7折收費．經核算，參加兩家旅行社費用正好相等．
（1）該校參加科技夏令營的學生共有多少人？
（2）如果又增加了部分學生，學校應選擇哪家旅行社？
【點評】方程與不等式的綜合應用，注意取值與實際生活要相符
【基礎訓練】
1．（2006年深圳市）九年級的幾位同學拍了一張合影作留念，已知沖一張底片需要0.80元，洗一張相片需要0.35元．在每位同學得到一張相片、共用一張底片的前提下，平均每人分攤的錢不足0.5元，那么參加合影的同學人數（ ）
A．至多6人 B．至少6人 C．至多5人 D．至少5人
2．現用甲、乙兩種運輸車將46噸抗旱物資運往災區，甲種運輸車載重5噸，乙種運輸車載重4噸，安排車輛不超過10輛，則甲種運輸車至少應安排（ ）
A．4輛 B．5輛 C．6輛 D．7輛
3．（2005年內江市）在一次“人與自然”知識競賽中，競賽題共25道，每道題都給4個答案，其中只有一個答案正確，選對得4分，不選或選錯倒扣2分，得分不低于60分得獎，那么得獎至少應選對題（ ）
A．18道 B．19道 C．20道 D．21道
4．一種滅蟲藥粉30千克，含藥率15%，現要用含藥率較高的同種滅蟲藥粉50千克和它混合，使混合后的含藥率大于20%而小于35%，則所用藥粉的含藥率x的范圍是（ ）
A．15%<x<23% B．15%<x<35% C．23%<x<47% D．23%<x<50%
5．（2005年吉林省）某林場原計劃在一定期限內固沙造林240公頃，實際每天固沙造林的面積比原計劃多4公頃，結果提前5天完成任務，設原計劃每天固沙造林x公頃，根據題意下列方程正確的是（ ）
.files/image002.gif)
6．（2006年內江市）某學校要印刷一批完全材料，甲印務公司提出制版費900元，另外每份材料收印刷費0．5元；乙印務公司提出不收制版費，每份材料收印刷費0．8元．
（1）分別寫出兩家印務公司的收費y（元）與印刷材料的份數x（份）之間的函數關系式．
（2）若學校預計要印刷5000份以內的宣傳材料，請問學校應選擇哪一家印務公司更合算？
7．水是人類最寶貴的資源之一，我國水資源人均占有量遠遠低于世界平均水平，為了節約用水，保護環境，學校于本學期初制定了詳細的用水計劃．如果實際每天比計劃多用一噸水，那么本學期的用水總量將會超過2300噸；如果實際每天計劃節約一噸水，那么本學期用水量將會不足2100噸．如果本學期的在校時間按110天（22周）計算，那么學校計劃每天用水量是在什么范圍？（結果保留四個有效數字）
8．某商場購進甲、乙兩種服裝后，都加價40%標價出售．“春節”期間商場搞優惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標價的八折和九折出售．某顧客購買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標價之和為210元，問這兩種服裝的進價和標價各是多少元？
9．（2006年江陰市）某公司開發的960件新產品，需加工后才能投放市場，現有甲、乙兩個工廠都想加工這批產品，已知甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用20天，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產品．在加工過程中，公司需每天支付50元勞務費請工程師到廠進行技術指導．
（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產品？
（2）該公司要選擇省時又省錢的工廠加工，乙工廠預計甲工廠將向公司報加工費用為每天800元，請問：乙工廠向公司報加工費用每天最多為多少元時，才可滿足公司要求，有望加工這批產品．
10．（2006年揚州市）“中國荷藕之鄉”揚州市寶應縣有著豐富的荷藕資源．某荷藕加工企業已收購荷藕60噸，根據市場信息，如果對荷藕進行粗加工，每天可加工8噸，每噸可獲利1000元；如果進行精加工，每天可加工0．5噸，每噸可獲利5000元．由于受設備條件的限制，兩種加工方式不能同時進行．
（1）設精加工的噸數為x噸，則粗加工的噸數為______噸，加工這批荷藕需要____天，可獲利______元（用含x的代數式表示）
（2）為了保鮮需要，該企業必須在一個月（30天）內將這批荷藕全部加工完畢，精加工的噸數x在什么范圍內時，該企業加工這批荷藕的獲利不低于80000元？
11．（2005年河南省）某公司為了擴大經營，決定購進6臺機器用于生產某種活塞．現有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產活塞的數量如下表所示．經過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元．
甲
乙
價格（萬元/臺）
7
5
每臺日產量（個）
100
60
（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？
（2）若該公司購進的6臺機器的日生產能力不能低于380個，那么為了節約資金應選擇哪種購買方案？
12．（2005年貴州省）為迎接“2005．中國貴州黃果樹瀑布節”，園林部門決定利用現有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花奔搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側，搭配每個造型所需要花奔情況如下表所示：
造型
甲
乙
A
90盆
30盆
B
40盆
100盆
（1）符合題意的搭配方案有哪幾種？
（2）若搭配一個A種造型的成本為1000元，搭配一個B種造型的成本為1200元，試說明選用（1）中哪種方案成本最低？
13．（2006年長沙市）我市某鄉A、B兩村盛產柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸．現將這些柑桔運到C、D兩個冷藏室，已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸；從A村運往C、D兩處的費用分別為每噸20元和25元，從B村運往C、D兩處的費用分別為每噸15元和18元．設從A村運往C倉庫的柑桔重量為x噸，A、B兩村運往兩倉庫的柑桔運輸費用分別為yA元和yB元．
（1）請填寫下表，并求出yA、yB與x之間的函數關系式：
C
D
總計
A
x噸
200噸
B
300噸
總計
240噸
260噸
500噸
（2）試討論A、B兩村中，哪個村的運費較少；
（3）考慮到B村的經濟承受能力，B村的柑桔運費不得超過4830元．在這種情況下，請問怎樣調運，才能使兩村運費之和最小？求出這個最小值．
答案:
例題經典
例1：（1）甲獨做20天，乙獨做30天
（2）設甲做了x天，乙做了y天完成作業，.files/image004.gif)
解y≥15，即乙公司最少應施工15天．
例2：學校派出158名，共有20個交通路口安排值勤
例3：（1）學生共有21人 （2）應選青春社
考點精練
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B
6．（1）.files/image006.gif)
（2）y甲<y乙，∴900+0.5x<0.8x，解得x>3000，
∴選甲公司
7．應控制在：19.91到20.09噸之間
8．甲進價為50元，標價70元，乙進價為100元，標價140元
9．解：（1）設甲工廠每天加工x件，則乙公司每天加工（x+8）件
由題意得：.files/image008.gif)
，解之得：x1=-24，x2=16．
經檢驗，x1、x2均為所列方程的根，但x1=-24不合題意，舍去．
此時x+8=24．
答：甲工廠每天加工16件，乙工廠每天加工24件．
（2）由（1）可知加工960件產品，甲工廠要60天，乙工廠要40天．
所以甲工廠的加工總費用為60×（800+50）=51000（元）．
設乙工廠報價為每天m元，則乙工廠的加工總費用為40×（m+50）元．
由題意得：40×（m+50）≤51000，解得m≤1225．
答：乙工廠所報加工費每天最多為1225元，可滿足公司要求，有望加工這批產品．
10．（1）（60-x）噸，（.files/image010.gif)
）天，[5000x+（60-x）×1000]元
（2）5（噸）≤x≤12（噸）
11．（1）有3種方案：①甲0臺，乙6臺，②甲1臺，乙5臺，③甲2臺，乙4臺
（2）應選方案②
12．（1）
A
30
31
32
B
20
19
18
（2）設費用為y=1000x+1200（50-x）=-200x+60000，∴A32天，B18個費用最低．
13． (1)
C
D
總計
A
x噸
（200-x）噸
200噸
B
（240-x）噸
（60+x）噸
300噸
總計
240噸
260噸
500噸
yA=-5x+5000（0≤x≤2000），yB=3x+4680（0≤x≤200）．
（2）當yA=yB時，-5x+5000=3x+4680，x=40；
當yA>yB時，-5x+5000>3x+4680，x<40；
當yA<yB時，-5x+5000<3x+4689，x>40，
∴當x=40時，yA=yB即兩村運費相等；
當0≤x<40時，yA>yB即B村運費較少；
當40<x≤200時，yA<yB即A村費用較小．
（3）由yB≤4830，3x+4680≤4830，∴x≤50，
設兩村運費之和為y，∴y=yA+yB，即：y=-2x+9680．
又∵0≤x≤50時，y隨x增大而減小．
∴當x=50時，y有最小值，y最小值=9580（元）．
答：當A村調往C倉庫的柑桔重量為50噸，調往D倉庫為150噸，B村調往C倉庫為190噸，調往D倉庫110噸的時候，兩村的運費之和最小，最小費用為9580元．
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