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2009年高考數學難點突破專題輔導三十二

難點32  極限及其運算

極限的概念及其滲透的思想，在數學中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.舊教材中原有的數列極限一直是歷年高考中重點考查的內容之一.本節內容主要是指導考生深入地理解極限的概念，并在此基礎上能正確熟練地進行有關極限的運算問題.

●難點磁場

(★★★★)求.

●案例探究

［例1］已知(－ax－b)=0,確定a與b的值.

命題意圖：在數列與函數極限的運算法則中，都有應遵循的規則，也有可利用的規律，既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統掌握能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：解決本題的閃光點是對式子進行有理化處理，這是求極限中帶無理號的式子常用的一種方法.

錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯.

技巧與方法：有理化處理.

解：

要使上式極限存在，則1－a²=0,

當1－a²=0時，

∴  解得

［例2］設數列a₁,a₂,…,a_n,…的前n項的和S_n和a_n的關系是S_n=1－ba_n－,其中b是與n無關的常數，且b≠－1.

(1)求a_n和a_n－1的關系式；

(2)寫出用n和b表示a_n的表達式；

(3)當0＜b＜1時，求極限S_n.

命題意圖：歷年高考中多出現的題目是與數列的通項公式，前n項和S_n等有緊密的聯系.有時題目是先依條件確定數列的通項公式再求極限，或先求出前n項和S_n再求極限，本題考查學生的綜合能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關系.

錯解分析：本題難點是第(2)中由(1)中的關系式猜想通項及n=1與n=2時的式子不統一性.

技巧與方法：抓住第一步的遞推關系式，去尋找規律.

解：(1)a_n=S_n－S_n－1=－b(a_n－a_n－1)－=－b(a_n－a_n－1)+ (n≥2)

解得a_n= (n≥2)

●錦囊妙計

1.學好數列的極限的關鍵是真正從數列的項的變化趨勢理解數列極限.

學好函數的極限的關鍵是真正從函數值或圖象上點的變化趨勢理解函數極限.

2.運算法則中各個極限都應存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限.

3.注意在平時學習中積累一些方法和技巧，如：

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

試題詳情

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

殲滅難點訓練

一、1.解析：，

答案：A

2.解析：

答案：C

二、3.解析：

答案：

4.解析：原式=

∴a?b=8

答案：8

三、5.解：(1)由{a_n+1－a_n}是公比為的等比數列，且a₁=,a₂=,

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)()^n-1=(－×)()^n-1=,

∴a_n+1=a_n+                                               ①

又由數列{lg(a_n+1－a_n)}是公差為－1的等差數列，且首項lg(a₂－a₁)

=lg(－×)=－2,

∴其通項lg(a_n+1－a_n)=－2+(n－1)(－1)=－(n+1),

∴a_n+1－a_n=10^－(n+1),即a_n+1=a_n+10^－(n+1)                                                                                                 ②

①②聯立解得a_n=［()ⁿ⁺¹－()ⁿ⁺¹］

(2)S_n=

6.解：由于=1，可知，f(2a)=0                                                                      ①

同理f(4a)=0                                                                                                            ②

由①②可知f(x)必含有(x－2a)與(x－4a)的因式，由于f(x)是x的三次多項式，故可設f(x)=A(x－2a)(x－4a)(x－C),這里A、C均為待定的常數，

,即4a²A－2aCA=－1                                                         ③

同理，由于=1,得A(4a－2a)(4a－C)=1,即8a²A－2aCA=1                        ④

由③④得C=3a,A=,因而f(x)=  (x－2a)(x－4a)(x－3a),

由數列{a_n}、{b_n}都是由正數組成的等比數列，知p＞0,q＞0

當p＜1時,q＜1,

8.解：(1)a_n=(n－1)d,b_n=2=2^(n－1)d?

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^(n－1)d?

由d≠0,2^d≠1,∴S_n=

∴T_n=

(2)當d＞0時，2^d＞1