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圓錐曲線專題精選

近三年廣東高考圓錐曲線考題（解答題）特點：

1．題目位置前移，難度降低，己成為中檔題；

2．都在知識交匯處設計試題，常有兩個圓錐曲線作載體；

3．突出考查方程和方程組的方法。

2009年高考展望預測：堅持這幾年成功的命題方向，主要是難度和風格，

但要強化圓的地位，弱化雙曲線，關注函數與圓錐曲線交匯處的試題。

(1)

解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，過點、分別作拋物線的切線和．

（1）證明：；

（2）設切線和交軸于、,當直線轉動時,

求四邊形面積的最小值．

2．設點，點在軸上移動，點在軸正半軸上移動，動點滿足：①；②。

（1）求點的軌跡方程；

（2）若；經過中點的直線交軸于，且，設； ①求數列的通項公式；②試比較與的大小．

3．已知函數和的圖像關于點（1，2）對稱，且。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）把的圖像繞它的頂點逆時針方向旋轉，并把圖像按向量＝（1，1）（向左和向上分別移1個單位）平移得到新的曲線C。

（1）寫出曲線C的方程及焦點坐標；

（2）過焦點作直線交C于A、B，交軸于D，若∶＝1∶2，求直線OA、OB的斜率。

4．已知在平面直角坐標系中，若在曲線的方程中以為正實數）代替得到曲線的方程，則稱曲線關于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比．

(1) 已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的標準方程；

(2) 射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點，且，求橢圓的標準方程；

(3) 對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換得拋物線，如此進行下去，對拋物線作變換,得拋物線．若，求數列的通項公式．

(2)

解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

1．已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值。

2．橢圓的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且P F₁⊥PF₂, | P F₁|=, | P F₂|=.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線L過圓的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。

3．已知直線₁：mx－y＝0， ₂：x＋my－m－2＝0.

（1）求證：₁ ⊥ ₂

（2）求證：對m的任意實數值，₁和₂的交點P在一定圓上；

（3）若₁與定圓另一交點為P₁，₂與定圓另一交點為P₂，求當ΔPP₁P₂的面積取得最大值時₁的方程。

4 已知拋物線y²=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p

(1)求a的取值范圍

(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值

5、有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按圖示方法進行折疊，使每次折疊后點B都落在AD邊上，此時將B記為（注：圖中EF為折痕，點F也可落在邊CD上）。過作交EF于T點，求T點的軌跡方程。

6．.設，橢圓方程為，拋物線方程為如圖6所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點。

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P,使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）

(3)

解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

1．在平面直角坐標系中，設二次函數的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）設定點A是圓C經過的某定點（其坐標與無關），問是否存在常數使直線與圓交于點，且．若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

2．設x₁、x₂ÎR,常數m＞0,定義運算“*”：.

(1) 若x≥0,,求動點P(x,y)的軌跡C的方程并說明軌跡C的形狀；

(2) 設A(x,y)是坐標平面上任一點,定義d₁(A)=,

d₂(A)=,計算d₁(A)、d₂(A),并說明d₁(A)和d₂(A)的

幾何意義；

(3) 在(1)中的軌跡C上，是否存在不同兩點A₁(x₁,y₁)、A₂(x₂,y₂)，使之滿足d₁(A_i)=?d₂(A_i)(i=1,2)，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

3．設F₁、F₂分別為橢圓C： (a＞b＞0)的左、右焦點.（1）設橢圓C上的點到F₁、F₂兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程.

4、半徑為1的圓柱體與地平面切于B點，在離地平面距離為3的上方放一個與地平面平行的平面鏡，在圓柱體的左側地面上有一點光源A，AB=5，如圖，求地面上圓柱體右側被光照射的長度MN。

5. 在平面內,已知定點A定到直線L的距離為，動點M到A點的距離等于它到直線L的距離.

(1)建立適當的坐標系，求動點M的軌跡方程;

(2)設點 , 在(1) 中的軌跡上，若，

證明：、、A三點共線.

(4) 在(2) 條件下求∆（O是坐標原點）的最小面積.

(4)

解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

1．已知圓，內接于此圓，點的坐標，為坐標原點．

（Ⅰ）若的重心是,求直線的方程；（三角形重心是三角形三條中線的交點，并且重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍）

（Ⅱ）若直線與直線的傾斜角互補，求證：直線的斜率為定值．

2．如圖直線與相交于點，，點，以為端點的曲線上的任意一點到的距離與到點的距離相等，若是銳角三角形，建立適當的坐標系，求曲線的方程。

3．已知雙曲線的兩個焦點分別為且.又雙曲線C上的任意一點E滿足

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若雙曲線C上的點P滿足的值；

（3）若直線與雙曲線C交于不同兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，－1），求實數m的取值范圍.

4．有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4cm，高，如下圖，已知O為橢圓中心，A₁，A₂是長軸兩端點，太陽位于橢圓的左焦點F處.

（Ⅰ）建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；

(5)

解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

1．已知m∈R，直線l：和圓C：。

（1）求直線l斜率的取值范圍；

（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？

2．過點T（2，0）的直線交拋物線y²=4x于A、B兩點.

（1）若直線l交y軸于點M，且當m變化時，求的值；

（2）設A、B在直線上的射影為D、E，連結AE、BD相交于一點N，則當m變化時，點N為定點的充要條件是n=－2.

3．在平面直角坐標系，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標原點．橢圓與圓的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為．

（1）求圓的方程；

（2）試探究圓上是否存在異于原點的點，使到橢圓右焦點的距離等于線段的長，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

4．設函數分別在處取得極小值、極大值.平面上點的坐標分別為、，該平面上動點滿足,點是點關于直線的對稱點.求

(I)求點的坐標；

(II)求動點的軌跡方程.

5、設直線與橢圓相交于A、B兩點。

(1) 線段AB中點M的坐標及線段AB的長；

(2) 已知橢圓具有性質：設A、B是橢圓上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB×k_OM為定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明。

(1)

1．過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，過點、分別作拋物線的切線和．

（1）證明：；

（3）設切線和交軸于、,當直線轉動時,

求四邊形面積的最小值．

1．解：（1）設直線的方程為，聯列得：，所以．

（3）由（2）得，過點、作軸的垂線，垂足分別為．

由于不妨設，

=，由于，

所以

=，設，

則，且，

而，得或，

所以在遞增，從而在遞增，所以．

2．設點，點在軸上移動，點在軸正半軸上移動，動點滿足：①；②。

（1）求點的軌跡方程；

（2）若；經過中點的直線交軸于，且，設；

①求數列的通項公式；②試比較與的大小．

2．解：（1）設，，則；∴；；

解得：，∵∴點的軌跡方程為：．

（2）若由（1）知：點的縱坐標是，代入得：，∴，設的中點為

∵，∴，∴為的中垂線，

∴的方程為：；令得：；

∴

；∴只要比較與的大小；

易知：時；

當時，。

綜上所述：時；當時．

3．已知函數和的圖像關于點（1，2）對稱，且。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）把的圖像繞它的頂點逆時針方向旋轉，并把圖像按向量＝（1，1）（向左和向上分別移1個單位）平移得到新的曲線C。

（3）寫出曲線C的方程及焦點坐標；

（4）過焦點作直線交C于A、B，交軸于D，若∶＝1∶2，求直線OA、OB的斜率。

3．解∶（Ⅰ）設點P（，）在函數的圖像上，Q（，）是P關于（1，2）的對稱點，則Q（，）在的圖像上，且

，

∴

代入得

∴解析式是

O x

（Ⅱ）（1），它的圖像是頂點為（－1，－1），開口向上的拋物線，把的圖像繞頂點逆時針方向旋轉，并把圖像按向量＝（1，1）平移得到的曲線C的方程為，焦點坐標為（0，）

（2）設的方程為

由消去，整理得

設A、B兩點的坐標分別為A（，）、B（，），顯然<0、<0

則

∵∶＝1∶2

∴∶＝1∶2

∴(-)∶ (-)=1∶2

(3)

由（1）（2）（3）三式解得，，

(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線的標準方程；

(2)射線的方程，如果橢圓經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓分別交于兩點，且，求橢圓的標準方程；

(3)對拋物線，作變換，得拋物線；對作變換得拋物線，如此進行下去，對拋物線作變換,得拋物線．若，求數列的通項公式．

4．解 (1) 由條件得，得：；

(2) “伸縮變換”，對作變換，

得到，（3分）

解方程組得點A的坐標為；

解方程組得點B的坐標為；＝＝，

化簡后得，解得，

因此橢圓的方程為或．

(3)對：作變換

得拋物線：得，

又，即，

＝,

則，（13分）

（或解：）

又，．

(2)

1．解：（1）∵點是線段的中點

∴是△的中位線

又∴

∴

∴橢圓的標準方程為=1

（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，

∴＝

2 解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,

所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）. 由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）. 從而可設直線l的方程為 y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

因為A，B關于點M對稱. 所以解得，

所以直線l的方程為即8x-9y+25=0. (經檢驗，符合題意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.

設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

①

②

由①－②得 ③

因為A、B關于點M對稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經檢驗，所求直線方程符合題意.)

3．（1）∵m?1 ＋（－1）?m ＝ 0，∴₁ ⊥ ₂

（2）聯立方程組，消去m得，

（3）由

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