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專題16 空間向量 簡單幾何體

一 能力培養

1,空間想象能力         2,數形結合思想         3,轉化能力         4,運算能力

二 問題探討

問題1(如圖)在棱長為1的正方體ABCD中,

(1)求異面直線B與C所成的角的大小;

(2)求異面直線B與C之間的距離;

(3)求直線B與平面CD所成的角的大小;

(4)求證:平面BD//平面C;

(5)求證:直線A平面BD;               (6)求證:平面AB平面BD;

(7)求點到平面C的距離;              (8)求二面角C的大小.

問題2已知斜三棱柱ABCD的側面AC

與底面垂直,,,,

且AC, A=C.

(1)求側棱A和底面ABC所成的角的大小;

(2)求側面AB和底面ABC所成二面角的大小;

(3)求頂點C到側面AB的距離.

三 習題探討

選擇題

1甲烷分子由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構型為一正四面體,碳原子位于該正四

面體的中心,四個氫原子分別位于該正四面體的四個頂點上.若將碳原子和氫原子均視為一

個點(體積忽略不計),且已知碳原子與每個氫原子間的距離都為,則以四個氫原子為頂點

的這個正四面體的體積為

A,          B,          C,            D,

2夾在兩個平行平面之間的球,圓柱,圓錐在這兩個平面上的射影都是圓,則它們的體積之

比為

A,3:2:1              B,2:3:1             C,3:6:2            D,6:8:3

3設二面角的大小是,P是二面角內的一點,P點到的距離分別為1cm,

2cm,則點P到棱的距離是

A,         B,        C,        D,

4如圖,E,F分別是正三棱錐ABCD的棱AB,BC

的中點,且DEEF.若BC=,則此正三棱錐的體積是

A,                   B,

C,                 D,

5棱長為的正八面體的外接球的體積是

A,              B,             C,           D,

填空題

6若線段AB的兩端點到平面的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面

 的位置關系是                     .

7若異面直線所原角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為

2和平共處的兩點,當時,線段AB的長為                   .

8如圖(1),在直四棱柱中,當底面四邊形滿足條件           

時,有C(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)

9如圖(2),是一個正方體的展開圖,在原正方體中,有下列命題:

①AB與EF所連直線平行;         ②AB與CD所在直線異面;

③MN與BF所在直線成;       ④MN與CD所在直線互相垂直.

其中正確命題的序號為        .(將所有正確的都寫出)

解答題

10如圖,在中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分別交AB,AC于D,E.將沿

 DE折起來使得A到,且為的二面角,求到直線BC的最小距離.

11如圖,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.

(1)問BC邊上是否存在點Q使得PQQD?并說明理由;

(2)若邊上有且只有一個點Q,使得PQQD,求這時二面角Q的正切.

問題1(1)解:如圖,以D為原點建立空間直角坐標系,有(1,0,1),B(1,1,0),(1,1,1),C(0,1,0)

得,,設與所成的角為,則

,又,得

所以異面直線B與C所成的角的大小為.

(2)設點M在B上,點N在C上,且MN是B與C的公垂線,令M,

N,則

由,得,解得,

所以,得,即異面直線B與C之間的距離為.

(3)解:設平面CD的法向量為,而,由,,

有,得,于是,

設與所成的角為,則

,又,有.

所以直線B與平面CD所成的角為.

(4)證明:由//C,C平面C,得//平面C,

又BD//,平面C,得BD//平面C,

而,于是平面BD//平面C.

(5)證明:A(1,0,0),(0,1,1),,,

有及,得

,,,

于是,直線A平面BD.

(6)證明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.

(7)解:可得C=C==,有

由,得,即,得

所以點到平面的距離為.

(8)解:由(3)得平面CD的法向量為=,它即為平面的法向量.

設平面的法向量為,則,

又

由,得,所以

設與所成的角為,則

所以二面角的大小為.

問題2解:建立如圖所示的空間直角坐標系,由題意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).

又由面AC面ABC,且A=C,知點,,

平面ABC的法向量.

(1),得

于是,側棱和底面ABC所成的角的大小是.

(2)設面AB的法向量,則由

得,.于是,,又平面ABC的法向量,得

,有.

所以側面AB和底面ABC所成二面角的大小是.

(3)從點C向面AB引垂線,D為垂足,則

所以點C到側面AB的距離是.

習題

1過頂點A,V與高作一截面交BC于點M,點O為正四面體的中心,為底面ABC的中心,

設正四面體VABC的棱長為,則AM==VM,=,

,,得

在中,,即,得.

則,有.選B.

溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內切球的半徑=.

2 ,選B.

3設PA棱于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA=,,則

,得,有或(舍去),

所以,選B.

4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.

由對稱性得,于是.

,選B.

5可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有,得,

外接球的體積,選D.

6當時,AB//;當時,AB//或AB;當時,AB//或與斜交.

7由,得

(1)當時,有,得;

(2)當時,有,得.

8 ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)

9將展開的平面圖形還原為正方體,可得只②,④正確.

10解:設的高AO交DE于點,令,

由AO=,有,

在中,,有

得.

當時,到直線BC的最小距離為6.

11解:(1)(如圖)以A為原點建立空間直角坐標系,設,則

Q,P(0,0,1),D得,

由,有,得          ①

若方程①有解,必為正數解,且小于.由,,得.

(i)當時,BC上存在點Q,使PQQD;

(ii)當時, BC上不存在點Q,使PQQD.

(2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PQQD,則方程①有兩個相等的實根,

這時,,得,有.

又平面APD的法向量,設平面PQD的法向量為

而,,

由,得,解得

有,則

,則

所以二面角的正切為.