江蘇海安立發中學09屆高三3月份月考
數 學 試 題
（ 時間：150分鐘 滿分：200分）
第Ⅰ卷（必做題，共160分）
一．填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分. 不需寫出解答過程．請把答案直接填寫
1. 已知復數
，
,那么
= ▲ ．
2. 集合
≤
，
，則集合A中所有元素之和為 ▲ .
3．如果實數
和非零向量
與
滿足
，則向量和 ▲ ．
（填“共線”或“不共線”）．
4．在樣本的頻率分布直方圖中，一共有
個小矩形，第3個小矩形的面積等于其余
個小矩形面積和的
，且樣本容量為100，則第3組的頻數是 ▲ .
5. 在數列
中，若
，
，
，則該數列的通項為
▲ .
6. 下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是 ▲ .
7. 若實數
、
{
，
，
，
}，且
，則曲線
表示焦點在
軸上的
雙曲線的概率是 ▲ .
Read S
1
For I
from 1 to
5 step 2
SS+I
Print S
End for
End
輸出的結果是 ▲ .
9. 某同學五次考試的數學成績分別是120， 129， 121，125，130，則這五次考試成績的方差
▲ .
10. 設
，則
的最大值是 ▲ .
11. 用一些棱長為
圖1（俯視圖） 圖2（主視圖）
12. 設奇函數
在
上為增函數，且
，則不等式
的解集為
▲ ．
13. 已知
平面內一區域
，命題甲：點
；命題乙：點
．如果甲是乙的充分條件，那么區域的面積的最小值是 ▲ .
14. 已知函數
,若方程
有且只有兩個不相等的實數根，則實數
的取值范圍是 ▲
．
證明過程或演算步驟．
二．解答題:本大題共6小題，共90分.請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、
15.（本小題滿分14分）
設函數
,其中向量
，
(1) 求的最小正周期；
(2) 在
中，
分別是角
的對邊，
求
的值．
16.（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別
是AB、PC的中點
(1)
求證
CD⊥PD;
(2)
求證 EF∥平面PAD;
(3) 當平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？
17.（本小題滿分15分）
某商店經銷一種奧運會紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向
稅務部門上交元（為常數，2≤a≤5 ）的稅收。設每件產品的售價為x元(35≤x≤41),
根據市場調查,日銷售量與
(e為自然對數的底數)成反比例。已知每件產品的日售價為
40元時，日銷售量為10件．
(1)
求該商店的日利潤L（x）元與每件產品的日售價x元的函數關系式；
(2) 當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L（x）最大，并求出L（x）的最
大值．
18.（本小題滿分15分）
設動點
到定點
的距離比它到軸的距離大
．記點
的軌跡為
曲線
．
（1）求點的軌跡方程；
（2）設圓
過
，且圓心在的軌跡上，
是圓在軸上截得的弦，當運動時弦長
是否為定值?請說明理由．
19.（本小題滿分16分）
已知函數
(其中
)
（1）若當
恒成立,求
的取值范圍；
（2）若
,求無零點的概率;
(3) 若對于任意的正整數
，當
時，都有
成立,則稱這樣是
函數.現有函數
,試判斷
是不是函數?并給予證明.
20.（本小題滿分16分）
數列
的各項均為正數，
為其前
項和，對于任意
，總有
成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列
的前項和為
，且
，求證:對任意實數
（
是常數，＝2.71828
）和任意正整數，總有
2；
(3) 正數數列
中，
.求數列中的最大項.
附加題部分
（本部分滿分40分，考試時間30分鐘）
（本大題共6小題,其中第21和第22題為必做題，第23～26題為選做題，請考生在第23～26題中任選2個小題作答，如果多做，則按所選做的前兩題記分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．）
21．（本小題為必做題，滿分12分）
已知直線
被拋物線
截得的弦長
為20，
為坐標原點．
（1）求實數的值；
（2）問點位于拋物線弧
上何處時，△
面積最大？
22．（本小題為必做題，滿分12分）
甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生（可在高考中加分錄取），兩次考試過程相互獨立．根據甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；
（2）設經過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數為
，求隨機變量的期望
．
23．（本小題為選做題，滿分8分）
如圖，在△中，
是
的中點，
是
的中點，
的延長線交
于
.
（1）求
的值；
（2）若△
的面積為
，四邊形
的面積為
，求
的值．
24．（本小題為選做題，滿分8分）
已知直線
的參數方程：
（
為參數）和圓的極坐標方程：
．
（1）將直線的參數方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）判斷直線和圓的位置關系．
25．（本小題為選做題，滿分8分）
試求曲線
在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M =
，N =
．
26．（本小題為選做題，滿分8分）
用數學歸納法證明不等式：
．
A．必做題部分
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．
2．
3．共線 4．20 5．
6．
7．
8．2，5，10 9．16.4 10．1 11．7 12．
13．2 14．
二、解答題：
15．解：(1)
(2)
余弦定理
可得
又∵
∴
16．證明
(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內的射影，
∵CD
平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD
(2)取CD中點G，連EG、FG，
∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3）解 當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD
證明 G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD
17．解：（1）依題意，
到
距離等于到直線
的距離，曲線
是以原點為頂點，為焦點的拋物線
曲線方程是
（2）設圓心
，因為圓
過
故設圓的方程
令
得：
設圓與
軸的兩交點為
，則
在拋物線上，
所以，當運動時，弦長
為定值2
18．解（1）設日銷售量為
則日利潤
（2）
①當2≤a≤4時，33≤a+31≤35，當35 <x<41時，
∴當x=35時，L（x）取最大值為
②當4＜a≤5時，35≤a+31≤36，
易知當x=a+31時，L（x）取最大值為
綜合上得
19．解(1)據題意: 
可行域如圖(暫缺)
的幾何意義是定點
到區域內的點
連線的斜率
,
又
故的取值范圍為
(2)當
有零點時,
,滿足條件為
由拋物線的下方與
圍成的區域面積
由直線
圍成的區域面積
故有零點的概率
無零點的概率為
(3)
是
函數.
證明： 
符合條件．
因為
，
同理：
； 
．
所以， 符合條件．
20．（1）解：由已知：對于
，總有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均為正數，∴
（n ≥ 2）
∴數列
是公差為1的等差數列
又n=1時，
，
解得
=1
∴
.()
（2）證明：∵對任意實數
和任意正整數n，總有
≤
.……6分
∴
(3)解：由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 時，
是遞減數列.
令
∵當
∴在
內
為單調遞減函數.
由
.
∴n≥2 時, 
是遞減數列.即是遞減數列.
又
, ∴數列中的最大項為
.
B．附加題部分
三、附加題部分：
21．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）將
代入
得
，
由△
可知
，
另一方面，弦長AB
，解得
；
（2）當時，直線為
，要使得內接△ABC面積最大，
則只須使得
，
即
，即位于（4，4）點處．
22．（必做題）（本小題滿分12分）
解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件
、
、
；
表示事件“恰有一人通過筆試”
則
（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為
，
所以
，故
．
解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件
，
則
所以
，
，
．
于是，
．
23．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）過D點作DG∥BC，并交AF于G點，
∵E是BD的中點，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，則BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中點，則DG：FC=1：2，
則BF：FC=1：2；
（2）若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，
則由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知
：
=1：2，其中、分別為△BEF和△BDC的高，
則
，則
=1：5．
24．（選做題）（本小題滿分8分）
解：（1）消去參數
，得直線
的普通方程為；-----------------------2分
即
，
兩邊同乘以
得
，
消去參數
，得⊙的直角坐標方程為：
（2）圓心到直線的距離
，
所以直線和⊙相交．
25．（選做題）（本小題滿分8分）
解：MN = 
=
，
即在矩陣MN變換下
，
則
，
即曲線
在矩陣MN變換下的函數解析式為
．
26．（選做題）（本小題滿分8分）
證明：（1）當
時，左邊＝
，時成立
（2）假設當
時成立，即
那么當
時，左邊
時也成立
根據（1）（2）可得不等式對所有的
都成立
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