安徽省泗縣一中2009年高三模擬試題（四月）數學（理）
本試卷分第I卷和第II卷）兩部分。考試時間為120分鐘，滿分為150分。
第一部分 選擇題 (共50分)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．已知i是虛數單位，那么
A．i B．-i C．1 D．-1
2．命題“
”的否定為
(A)
(B) 
(C)
(D) 
3. 設向量
與
的夾角為
，=（2，1），+3=（5，4），則
=
.
. 
.
.
4．在等差數列｛an｝中，
則此數列前30項
和等于
（A）810 （B）840 （C）870 （D）900
5．化簡
的結果為
A. 
B.
C. 
D. 
6．函數f ( x ) = Asin (
x +
)( A＞0，>0)的部分圖象如圖所示，則f ( 1 ) + f ( 2 ) + … + f ( 2 006 )的值等于
A．0 B．
C．2 + D．2?
7. 如圖，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角
三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的表面積為
A．
B．
C．
D．
8. 已知點F1、F2分別是橢圓
的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率是
A．
B. 
C. D. 
9．若函數f ( x
) = min {3 + log
x ,log2 x}，其中min{p，q}表示p，q兩者中的較小
者，則f ( x )＜2的解集為
A．（0，4） B．（0，+∞）
C．（0，4）∪（4，+∞） D．（
，+∞）
10．對一切實數x，不等式
恒成立，則實數a的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
第二部分 非選擇題
二.填空題：每小題5分, 共20分.
11．在各項都為正數的等比數列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝_____________________
12．由曲線
所圍成的圖形面積是
.
13．右圖所示的程序框圖的輸出結果為
14．若x、y滿足
的最大值是
.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分12分）
已知 |
|＝1，|
|＝，
（1）若//，求?；
（2）若，的夾角為135°，求 |＋| ．
16.（本小題滿分13分）
已知f ( x
) = 2cos
sin
?
.
（1）求函數f ( x )的最小正周期，及取得最大值時x的取值集合；
（2）求函數f ( x )圖象的對稱軸方程；
（3）經過怎樣的平移變換和伸縮變換才能使y = f ( x )的圖象變為y = cos x 的圖象？
17（本小題滿分13分）
設
是公比大于1的等比數列，
為數列的前
項和．已知
，
且
構成等差數列．
（1）求數列的通項；
（2）令
求數列
的前項和
．
18．（本小題滿分13）
如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，問乙船每小時航行多少海里？
19．（本小題滿分14分）
已知
的圖象過點（―2，―3），且滿足
設
。
（1）求
的表達式；
（2）是否存在正實數
，使
在
上是增函數，在
上是減函數？若存在，求出；若不存在，請說明理由。
20. （本小題滿分15分）
設函數
的定義域為R，當x＜0時＞1，且對任意的實數x，y∈R，有
（1）求
,判斷并證明函數的單調性；
（2）數列
滿足
,且
①求通項公式。
②當
時，不等式
對不小于2
的正整數n恒成立，求x的取值范圍。
一、 選擇題（每小題5分，共50分.請把正確選擇支號填在答題表內.）
1―5 DADBA 6―10 BADCB
二、填空題（每小題5分，共20分）：
11.84； 12.e-2； 13.8； 14.3；
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15（本小題滿分12分）
解（1）∵
//
，
①若，共向，則 
＝||•||＝
………………… 3′
②若，異向，則 ＝－||•||＝－ ……………… 6′
（2）∵，的夾角為135°， ∴ ＝||•||•cos135°＝－1 …… 8′
∴|＋|2＝（＋）2 ＝2＋2＋2＝1＋2－2＝1 ………… 11′
∴
……………………………………12
16. （本小題滿分13分）
解：（1）函數可化簡為f ( x
) = cos
，
3分
最小正周期為
；
4分
當
時，f ( x
)取得最大值1
5分
取得最大值時x的取值集合為
6分
（2）由
得對稱軸方程為：
，其中
9分
（3）由于f ( x
) = cos，
把f ( x )圖像上各點向左平移
個單位，得到 y=cos2x
11分
再把所得圖像上各點的橫線坐標縮短到原來的2倍，縱坐標不變,得到y=cosx
13分
17. （本小題滿分13分）
解：（1）由已知得
解得
．…………………1分
設數列
的公比為
，由，可得
．
又
，可知
，即
， ……………3分
解得
．
由題意得
． 
．………………………………………………
5分
故數列的通項為
． …
………………………………7分
（2）由于
由（1）得
…………………………9分
又
是等差數列．
…………………………………………11分
…………………13分
18（本小題滿分13分）
解：如圖，連結
，由已知
，。。。。。。。1分
， 。。。。。。。。。。2分
，
又
，。。。。。3分
是等邊三角形， 。。。。。4分
，
由已知，
，
，。。。。。。。。。6分
在
中，由余弦定理，
．
。。。。。。。。。。。。。10分
． 。。。。。。。。。。11分
因此，乙船的速度的大小為
（海里/小時）．。。。。。。12分
答：乙船每小時航行
海里． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
29．（本小題滿分14分）
解:(1)
20. （本小題滿分15分）
解：（1）
時，f（x）＞1
令x=－1，y=0則f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1
∴f（0）=1……………………………3′
若x＞0，則f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故
故x∈R f（x）＞0…………………………………………………5分
任取x1＜x2 
故f（x）在R上減函數………………………………………..7分
（2）①
由f（x）單調性
…9分
得：an+1=an+2 故{an}等差數列 
………………………10分
②
是遞增數列………………12分
當n≥2時，
……………………………13分
即
而a＞1，∴x＞1
故x的取值范圍（1，+∞）……………………………15分
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