82615205 一個多面體的直觀圖(主觀圖、左視圖、俯視圖)如圖所示,M、N分別為A1B1、B1C1
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的中點.
(1)求證:MN∥平面ACC1A1; (2)求證:MN⊥平面A1BC.
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19.(本小題滿分12分) 甲乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指頭,若和為偶數算甲贏,否則 算乙贏.
(1)若以A表示和為6的事件,求P(A); (2)現連玩三次,若以B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至少贏兩次的事件,試問B 與C是否為互斥事件?為什么? (3)這種游戲規則公平嗎?試說明理由.
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在平面直角坐標系 中,過定點 作直線與拋物線 相交于A、B兩點. (1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點,求△ANB 面積的最小值;
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(2)是否存在垂直于y軸的直線 ,使得 被以AC
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為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出 的方程;若不存在,說明理由.
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已知 , .
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(1)求點 的坐標;
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斜率為 ,求證: .
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一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分. 1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.D 11.D 12.D 二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分. 13. 14. 15. 16.40 三、解答題:本大題共6小題,共74分解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.解:--數學文科.files/image178.gif) --數學文科.files/image180.gif)
,聯合--數學文科.files/image183.gif)
得 ,即--數學文科.files/image187.gif) 當 時,--數學文科.files/image191.gif) 當 時,--數學文科.files/image195.gif) ∴當 時,--數學文科.files/image199.gif) 當 時,--數學文科.files/image203.gif) --數學文科.files/image205.gif) 18.解:由題意可知,這個幾何體是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1. (1)連結AC1,AB1. 由直三棱柱的性質得AA1⊥平面A1B1C1,所以AA1⊥A1B1,則四邊形ABB1A1為短形. 由矩形性質得AB1過A1B的中點M. 在△AB1C1中,由中位線性質得MN//AC1, 又AC1 平面ACC1A1,MN 平面ACC1A1, 所以MN//平面ACC1A1 (2)因為BC⊥平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1. 在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1. 又因為BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC. 由MN//AC1,得MN⊥平面A1BC
19.解:(1)基本事件空間與點集中
的元素一一對應. 因為S中點的總數為5×5=25(個),所以基本事侉總數為n=25
事件A包含的基本事件數共5個: (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1), 所以 (2)B與C不是互斥事件.因為事件B與C可以同時發生,如甲贏一次,乙贏兩次的事件即符合題意 (3)這種游戲規則不公平.由 (Ⅰ)知和為偶數的基本事件數為13個: (1,1)、(1,3)、(1,5)、(2,2)、(2,4)、(3,1)、(3,3)、(3,5)、(4,2)、(4,4)、(5,1)、 (5,3)、(5,5) 所以甲贏的概率為 ,乙贏的概率為 , 所以這種游戲規則不公平. 20.(1)依題意,點 的坐標為 ,可設 , 直線 的方程為 ,與 聯立得--數學文科.files/image229.gif) 消去 得 . 由韋達定理得 , .
于是 . --數學文科.files/image242.gif)
,
當 , .
(2)假設滿足條件的直線 存在,其方程為 , 設 的中點為 , 與 為直徑的圓相交于點 , 的中點為 , 則 , 點的坐標為 .
,
,
--數學文科.files/image280.gif) --數學文科.files/image282.gif)
,
--數學文科.files/image286.gif) .
令 ,得 ,此時 為定值,故滿足條件的直線 存在,其方程為 ,即拋物線的通徑所在的直線. 21.解:(1)當 時, , ∵--數學文科.files/image302.gif) ,∴ 在 上是減函數.
(2)∵ 不等式 恒成立,即 不等式 恒成立, ∴ 不等式 恒成立. 當 時, 不恒成立; 當 時, 不等式 恒成立,即 ,∴ . 當 時, 不等式 不恒成立. 綜上, 的取值范圍是 . 22.解:(1)∵ 的橫坐標構成以 為首項, 為公差的等差數列--數學文科.files/image142.gif) ∴ . ∵ 位于函數 的圖象上, ∴ , ∴ 點 的坐標為 . (2)據題意可設拋物線 的方程為: , 即 . ∵ 拋物線 過點 (0, ), ∴ , ∴ ∴ . ∵ 過點 且與拋物線 只有一個交點的直線即為以 為切點的切線, ∴ . ∴ ( ), ∴ --數學文科.files/image364.gif) --數學文科.files/image366.gif)
∴ . (3)∵ , ∴ 中的元素即為兩個等差數列 與 中的公共項,它們組成以 為首項,以 為公差的等差數列. ∵ ,且 成等差數列, 是 中的最大數, ∴ ,其公差為 . 當 時, ,
此時 ∴ 不滿足題意,舍去. 當 時, ,
此時 , ∴ . 當 時, .
此時 ,
不滿足題意,舍去. 綜上所述,所求通項為 .
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