西南師大附中高2009級第七次月考
數 學 試 題（文）
2009年4月
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1． 甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為90的樣本，應在這三校分別抽取學生（ ）
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
2． “x > 0，y > 
的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3． 已知
，則
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4． 已知函數
，則
的最大值是（ ）
A．8 B．
5． 函數
的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為（ ）
A．
B．
C．
D．
6． 設等比數列{an}中，前n項和為Sn，已知S3 = 8，S6 = 7，則a7 + a8 + a9等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7． 平面上的向量
滿足
，若向量
，則
的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．
8． 已知方程組
有兩組不同的解，則實數a 的取值范圍是（ ）
A．（1，121） B．（1，
） C．（0，） D．（0，121）
9． 反復拋擲一個骰子，依次記錄下每一次拋擲落地時向上的點數，當記有三個不同點數時即停止拋擲，若拋擲五次恰好停止，則記有這五次點數的所有不同記錄結果的種數有（ ）
A．360種 B．840種 C．600種 D．1680種
10． 已知P是橢圓
上的一點，F1、F2是該橢圓的兩個焦點，若△PF
，則
的值為（ ）
A． B．
C．
D．0
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11． 已知雙曲線
的一條漸近線與直線
垂直，則a = ．
12． 在
的展開式中，x7的系數是15，則實數a = _______________．
13． 若A為不等式組
表示的平面區域，則當a從? 2 連續變化到1時，動直線
掃過A中的那部分區域的面積為_______________．
14． 已知三棱錐S―ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，
，則三棱錐的體積與球的體積之比是_______________．
15． 以下四個命題：
①△ABC中，A > B的充要條件是
；
②等比數列{an}中，a1 = 1，a5 = 16，則
；
③把函數
的圖像向右平移2個單位后得到的圖像對應的解析式為
其中正確的命題的序號是_______________．
三、解答題：本題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16． (本小題滿分13分)
已知A、B、C是△ABC的三個內角，向量m =
，n =
，且m?n
= 1．
(1) 求角A；
(2) 若
，求
的值．
17． (本小題滿分13分)
甲、乙兩支籃球隊進行比賽，已知每一場甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4，每場比賽均要分出勝負，比賽時采用三場兩勝制，即先取得兩場勝利的球隊勝出．
(1) 求甲隊以二比一獲勝的概率
；
(2) 求乙隊獲勝的概率．
18． (本小題滿分13分)
設函數
是定義在R上的奇函數，且函數
的圖像在x = 1處的切線方程為
．
(1) 求a、b、c的值；
(2) 若對任意
都有
成立，求實數k的取值范圍．
19． (本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，且
，側面
底面
，△PAB是等邊三角形．
(1)
求證：
；
(2)
求二面角
的大小．
20． (本小題滿分12分)
設正數數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的
，Sn是
和an的等差中項．
(1) 求數列{an}的通項公式；
(2)
在集合
中，是否存在正整數m，使得不等式
對一切滿足n > m的正整數n都成立？若存在，則這樣的正整數m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數m的值；若不存在，請說明理由．
21． (本小題滿分12分)
設A、B是橢圓
上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
(1)
確定
的取值范圍，并求直線AB的方程；
(2) 求以線段CD的中點M為圓心且與直線AB相切的圓的方程．
西南師大附中高2009級第七次月考
2009年4月
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．
1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．4 12．
13．
14．
15．①
三、解答題：本題共6小題，共75分．
16．解：(1) 
∴ 
∵ 
∴ 
∴ 
(2) 
∴
∴
∴
∴ 
17．解：(1) 甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝
，其概率為
(2) 乙隊以2∶0獲勝的概率為
；
乙隊以2∶１獲勝的概率為
∴乙隊獲勝的概率為P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.
18．解：(1) ∵ 函數
是定義在R上的奇函數，
∴ 
∵ 
∴ 
．
又
在
處的切線方程為
，
由
∴ 
，且
， ∴ 
得
(2) 
依題意
對任意
恒成立，
∴ 
對任意
恒成立，即
對任意恒成立，
∴ 
．
19．解法一：(1) 證明：取
中點為
，連結
、
，
∵△
是等邊三角形， ∴
又∵側面
底面
，
∴
底面，
∴為
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
， ∴
，
∴
， ∴
．
(2) 取中點
，連結
、
，
∵
． ∴
．
又∵，
，
∴
平面
，∴，
∴
是二面角
的平面角.
∵
，
，
∴
．
∴
，∴
，∴
，
∴二面角
的大小為
解法二：證明：(1) 取中點為，
中點為
，連結
，
∵△是等邊三角形，∴，
又∵側面底面，∴底面，
∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系
如圖，
∵
，△是等邊三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2) 設平面
的法向量為
∵
∴
令
，則
，∴
設平面
的法向量為
，
∵
，∴
，
令
，則
，∴
∴
，
∴
， ∴二面角的大小為
.
20．解：(1) 由題意得，
①，
當
時，
，解得
，
當
時，有
②，
①式減去②式得，
于是，
，
，
因為
，所以
，
所以數列
是首項為
，公差為的等差數列，
所以的通項公式為
（
）．
(2) 設存在滿足條件的正整數
，則
，
，
，
又
，
，…，
，
，
，…，
，
所以
，，…，均滿足條件，
它們組成首項為，公差為
的等差數列．……（8分）
設共有
個滿足條件的正整數，則
，解得
．（10分）
所以，中滿足條件的正整數存在，共有
個，的最小值為
．（12分）
21．（Ⅰ）法1：依題意，顯然
的斜率存在,可設直線的方程為
，
整理得
． ①
設
是方程①的兩個不同的根，
∴
， ②
且
，由
是線段的中點，得
，∴
．
解得
，代入②得，
的取值范圍是（12，+∞）．
于是，直線的方程為
，即
法2：設
，
，則有
依題意，
，∴
．
∵
是
的中點，∴
，
，從而
．
又由
在橢圓內，∴
，
∴
的取值范圍是
．
直線
的方程為，即
．
(2) ∵
垂直平分，∴直線
的方程為
，即
，
代入橢圓方程，整理得
． ③
又設
，
的中點為
，則
是方程③的兩根，
∴
．
到直線的距離
，
故所求的以線段的中點
為圓心且與直線
相切的圓的方程為：
．
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