海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 末 練 習
數 學（理科） 2008.5
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1. 答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。
2. 選擇題的每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。其他小
題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題
（1）直線x+
y+1=0的傾斜角是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某中學有高一、高二、高三學生共1 600名，其中高三學生400名.如果用分層抽樣的方法從這1 600人抽取一個160人的樣本，那么應當從高三學生中抽取的人數是 （ ）
（A）20 （B）40
（C）60 （D）80
（3）函數y= 
(x<-1)的反函數是 （ ）
（A）y=-
(x>0)
（B）y=(x>0)
（C）y=-(x<-1) （D）y=(x<-1)
（4）函數f(x)=log2(2x)與g(x)=
(
)x-1在同一直角坐標系下的圖象是 （ ）
（5）設m,n,l是三條不同的直線，
，
，
是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）（A）若m,n與l所成的角相等，則m∥n
（B）若與，所成的角相等,則∥
（C）若m，n與所成的角相等，則m∥n
（D）若∥,m
，則m∥
（6）若an=
+
+…+
(n=1,2,3…),則an+1-an= （ ）
（A）
（B）-
（C）
- （D）+
（7）已知元素為實數的集合A滿足條件：若a
A,則
A,那么集合A中所有元素的乘積為 （ ）
（A）-1 （Ｂ）1 （C）0 （D）±1
（8）雙曲線x2-y2=2的左、右焦點分別為F1, F2，點Pn(xn, yn)(n=1,2,3…)在其右支上，且滿足|Pn+
（A）4 016
（Ｂ）4 015 （C）4 016 （D）4 015
海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 末 練 習
數 學（理科） 2008.5
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項：
1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2. 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分數
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.
（9）已知映射f：A
B,集合A中元素x在對應法則f作用下的象為log3x,那么A中元素
的象是
.
（10）集合A={
≥0}，B={x||x-2|<3}, A∪B= .
（11）在等差數列{an}中，若a9=6,則a7-a3=
.
（12）設圓x2+ y2-2x=0關于直線x+y=0對稱的圓為C，則圓C的圓心坐標為 ；再把圓C沿向量a=(1，2)平移得到圓D,則圓D的方程為 .
（13）在棱長為2的正方體ABCD-A1B
（14）中國象棋中規定：馬每走一步只能按日字格（也可以是橫日“
”）的對角線走.例如馬從方格中心點O走一步，會有8種走法.
則從圖中點A走到點B，最少需要
步，按最少的步數走，共有
種走法.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
（15）（本小題共12分）
設函數f(x)=p?q，其中向量p=(sinx,cosx+sinx),
q= (2cosx,cosx-sinx),xR.
（Ⅰ）求f（）的值及函數f(x)的最大值;
（Ⅱ）求函數f(x)的單調遞增區間.
（16）（本小題共14分）
如圖，正方體ABCD-A1B
（Ⅰ）求證：PD⊥AD1；
（Ⅱ）當A1P=A1B1時，求CP與平面D1DCC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）當A1P=
A1B1時，求點C到平面D1DP的距離.
 |
某單位為普及奧運知識，根據問題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識競猜活動.A種競猜活動規定：參賽者回答6個問題后，統計結果，答對4個，可獲福娃一個，答對5個或6個，可獲其他獎品；B種競猜活動規定：參賽者依次回答問題，答對一個問題就結束競猜且最多回答6個問題，答對一個問題者可獲福娃一個.假定參賽者答對每個題的概率均為
.
（Ⅰ）求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率；
（Ⅱ）設某人參加B種競猜活動，結束時答題數為η，求Eη.
（18）（本小題共13分）
如圖，矩形ABCD中，AB=
，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7.
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求橢圓M的方程；
（Ⅱ）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F2，當∠PF2Q=時，求△PF2Q的面積.
 |
已知函數f(x)=-x3+ax2-4(aR).
（Ⅰ）若函數y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為
,求a；
（Ⅱ）設f(x)的導函數是f′( x).在（Ⅰ）的條件下，若m,n［-1，1］，求f(m)+ f′( n)的最小值;
（Ⅲ）若存在x0(0,+∞),使f(x0)>0，求a的取值范圍.
（20）（本小題共14分）
已知函數y=f(x),
xN*, y N*滿足:
①對任意a,bN*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);
②對任意nN*都有［f(n)］=3n.
（Ⅰ）試證明：f(x)為N*上的單調增函數；
（Ⅱ）求f(1)+f(6)+f(28)；
（Ⅲ）令an=f(3n),nN*試證明: 
≤
+…+
<.
海 淀 區 高 三 年 級 第 二 學 期 期 末 練 習
數 學（理科）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
題號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
（D）
（B）
（A）
（A）
（D）
（C）
（B）
（C）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）-1 （10）{x|x<-4,或x>-1} （11）4
（12）（0，-1）,（x-1)2+(y-1)2=1 （13）
(14)4,8
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),
∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)
=2sinxcosx+cos2x-sin2x …………………………………… 2分
=sin2x+cos2x ………………………………………………
4分
∴ f(
)=
. ……………………………………………………
5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+
) ……………………………
6分
∴函數f(x)的最大值為. ………………………………………
7分
當且僅當x=
+k
(k
Z)時，函數f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2k-
≤2x+≤2k+ ( kZ), ……………………
9分
得k-
≤x≤k+. …………………………………………
11分
函數f(x)的單調遞增區間為［k-, k+］(
kZ). ……
12分
（16）（共14分）
解法一：（Ⅰ）證明：連結A1D，在正方體AC1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是PD在平面A1ADD1內的射影. …………………………………… 2分
∵在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，∴PD⊥AD1. ……………………… 4分
解：（Ⅱ）取D
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1.
∴CM為CP在平面D1DCC1內的射影.則∠PCM為CP與平面D1DCC1
所成的角. …………………………………………………………… 7分
在Rt△PCM中,sinPCM=
=
.
∴CP與平面D1DCC1所成角的正弦值為
. …………………………… 9分
（Ⅲ）在正方體AC1中，D1D∥C
∵C
平面D1DP內，
∴C
∴點C到平面D1DP的距離與點C1
到平面D1DP的距離相等.
又D1D⊥平面A1B
DD1
平面D1DP
∴平面D1DP⊥平面A1B
又平面D1DP∩平面A1B
D1P,過C1作C1H⊥D1P于H,
則C1H⊥平面D1DP.
∴C1H的長為點C1到平面D1DP的距離. ………………………12分
連結C1P，并在D
C1H?D1P=PQ?D
.
∴點C到平面D1DP的距離為
. ………………………………
14分
解法二：如圖，以D為坐標原點，建立空
間直角坐標系D-xyz.
由題設知正方體棱長為4，則
D(0,0,0) ,A(4,0,0)，
B1(4,4,4) ,A1(4,0,4)，
D1(0,0,4) ,C（0,4,0）.
………………………………………1分
(Ⅰ)設P(4，y0，4),
∴
=(4,y0,4),
∴
=(-4,0,4)
……………………………3分
∵
?
=-16+16=0,
∴PD⊥AD1. …………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）由題設可得,P（4,2,4），故
=（4，-2，4）.
∵AD⊥平面D1DCC1, ∴
=(4,0,0)是平面D1DCC1的法向量. ……………
……………………………………………………………………………… 7分
∴cos<,
>=
=.……………………………………………… 8分
∴CP與平面D1DCC1所成角的正弦值為. …………………………………… 9分
(Ⅲ) ∵
=(0,4,0),設平面D1DP的法向量n=(x,y,z),
∵P(4,3,4), ∴
=(0,0,4),=(4,3,4).
則
即
令x=-3,則y=4.
∴n=(-3,4,0). ……………………………………………………………… 12分
∴點C到平面D1DP的距離為d= =. ………………………… 14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）設事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M，…… 1分
依題意，答對一題的概率為
，則
P（M）=
…………………………………………………… 3分
=15×
=
=
. ………………………………………………… 4分
（Ⅱ）依題意，某人參加B種競猜活動，結束時答題數η=1，2，…,6，……… 5分
則P(η=1)=,P(η=2)=
,P(η=3)=
,P(η=4)=
, P(η=5)=
,
P(η=6)= 
, ……………………………………………………… 11分
所以,η的分布列是
η
1
2
3
4
5
6
Eη=1×
+2×
×+…+5×
×+6×
.
設S=1+2×+…+5×,
則S=+2×
+3×
+4×+5×,
S=1++++
-5×
=
-5×,
Eη=-5×+6×=
=
. ………………………
13分
答：某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為；某人參加B種競猜活動，
結束時答題數為η，Eη為.
（18）（共13分）
解：如圖，建立直角坐標系，依題意:設
橢圓方程為
+
=1(a>b>0),
……………………………… 1分
(Ⅰ)依題意：
=
，b=1,
a2= b2+c2, ………… 4分
∵橢圓M的離心率大于0.7,
∴a2=4, b2=1.
∴橢圓方程為
+y2=1. ……………………………………………………
6分
(Ⅱ)因為直線l過原點與橢圓交于點P,Q，設橢圓M的左焦點為F1.由對稱性可知，
四邊形PF1QF2是平行四邊形.
∴△PF2Q的面積等于△PF
∵∠PF2Q=
，∴∠F1PF2=.
設|PF1|=r1,
|PF2|=r2,則
………………………………
10分
∴r1
r2=
. …………………………………………………………………
11分
∴S△
=S△
= 
r1 r2sin=
. …………………………………
13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）f′(x)=-3x2+2ax. ……………………………………………………… 1分
據題意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2.
……………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x3+2x2-4,
則f′(x)=-3x2+4x.
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
-7
-
0
+
1
f(x)
-1
-4
-3
…………………………………………………………………………… 5分
∴對于m［-1,1］,f(m)的最小值為f(0)=-4 …………………
6分
∵f′( x)=-3x2+4x的對稱軸為x=
,且拋物線開口向下，
∴x［-1,1］時，f′( x)的最小值為f′( -1)與f′( 1)中較小的.
∵f′( 1)=1，f′( -1)=-7,
∴當x［-1,1］時，f′( x)的最小值為-7.
∴當n［-1,1］時，f′ ( x)的最小值為-7. ……………………
7分
∴f(m)+ f′( n)的最小值為-11. ………………………………… 8分
(Ⅲ) ∵f′( x)= -3x
.
①若a≤0,當x>0時，f′( x)<0, ∴f(x)在［0,+∞
上單調遞減.
又f(0)=-4,則當x>0時,f(x)<-4.
∴當a≤0時,不存在x0>0,使f(x0)>0. …………………………………… 11分
②若a>0,則當0<x<
時，f ′( x)>0,當x>時，f ′( x)<0.
從而f(x)在(0, 
上單調遞增，在 [,+∞
上單調遞減.
∴當x(0,+∞)時,
f(x)max=f(
)=-
+
-4=
-4.
據題意，-4>0，即a3>27.
∴a>3. ………………………………
14分
綜上，a的取值范圍是(3,+∞).
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由①知，對任意a,bN*，a＜b,都有（a
b）（f (a)f（b））＞0，
由于a-b＜0, 從而f（a）＜f（b），所以函數f（x）為N*上的單調增函數. …3分
（Ⅱ）令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1,否則f（f（1））= f（1）=1,與f（f（1））=3矛盾.
從而a＞1,
而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.
又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.
于是得1＜a＜3,又aN*,從而a=2，即f（1）=2 ……………… 5分
進而由f（a）=3知，f（2）=3.
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81.
由于5427=8154=27,
而且由（Ⅰ）知，函數f（x）為單調增函數，因此f（28）=54+1=55.
從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.……………………… 9分
（Ⅲ）f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1,
an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an,a1=f（3）=6.
即數列{an}是以6為首項，以3為公比的等比數列.
∴an=6×3n1=2×3n（n=1，2，3…）.………………………… 11分
于是
+
+…+
=
（
+
+…+
）=×
.
顯然（
）＜.………………………………………………12分
另一方面3n=（1+2）n=1+
×2+
×22+…+
×2n≥1+2n,
從而（1）≥（1
）=
.
綜上得
≤++…+＜.………………………………14分
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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