北京市東城區2007―2008學年度第二學期綜合練習(一)
初 三 數 學
考生須知
1．本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共10頁，共九道大題，25個小題，滿分120分。考試時間120分鐘。
2．認真填寫第1頁與第3頁密封線內的學校、姓名和考號。
3．考試結束，請將本試卷和機讀答題卡一并交回。
第Ⅰ卷(機讀卷 共32分)
考生須知
1．第Ⅰ卷共2頁，共一道大題，8個小題。
2．試題答案一律填涂在機讀答題卡上，在試卷上作答無效。
一、選擇題：(共8個小題，每小題4分，共32分)
1．－2的倒數是
A．－2 B．
D．
2．如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=110°，則∠2的度數為
（第2題圖）
A．50° B．70° C．90° D．110°
3．
A．15.165×1010 B．15.165×1011
C．1.5165×1011 D．0.15165×1012
4．若(x－2)2+
=0，則xy的值為
A．－8 B．
D．
5．我市某一周的最高氣溫統計如下表：
最高氣溫(℃)
25
26
27
28
天數
1
1
2
3
則這組數據的中位數與眾數分別是
A．27，28 B．27.5，
6．有9張相同的卡片，上面寫有漢字：我、參、與、我、奉、獻、我、快、樂.9張卡片任意攪亂后，一個人隨機抽取一張，卡片上寫有漢字“我”的概率是
A．
B．
C．
D．
7．如圖，⊙O的半徑為
（第7題圖）
A．
8．如圖，MN是圓柱底面的直徑，MP是圓柱的高，在圓柱的側面上，過點M，P有一條繞了四周的路徑最短的金屬絲，現將圓柱側面沿MP剪開，所得的側面展開圖可以是
（第8題圖）
北京市東城區2007―2008學年度第二學期綜合練習(一)
初 三 數 學
第Ⅱ卷(非機讀卷 共88分)
考生須知
1．第Ⅱ卷共8頁，共八道大題，17個小題。
2．除畫圖可以用鉛筆外，答題必須用黑色或藍色鋼筆、圓珠筆。
題號
二
三
四
五
六
七
八
九
總分
9―12
13―17
18―19
20―21
22
23
24
25
得分
閱卷人
復查人
二、填空題：(共4個小題，每小題4分，共16分)
9．在函數y=
中，自變量x的取值范圍是__________________.
10．分解因式：2x2－4x+2=____________________.
11．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′=30°，則∠AED′等于_______________.
（第11題圖）
12．k是整數，已知關于x的一元二次方程kx2+(2k－1)x+k－1=0只有整數根，則k=__________．
三、解答題：(共5個小題，每小題5分，共25分)
13．計算：
+(π－2008)0+
－6tan30°
14．解方程：
=2．
15．已知x2－2=0，求代數式x(x2－x)+x2(6－x)+3的值．
16．已知：如圖，在等邊三角形ABC中，點D、E分別是AB、BC延長線上的點，且BD=CE．
求證：DC=AE．
17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=4，cos∠C=
．求梯形ABCD的周長．
四、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)
18．已知：反比例函數y=
和一次函數y=2x－1，其中一次函數的圖象經過點(k，5)．
(1)試求反比例函數的解析式；
(2)若點A在第一象限，且同時在上述兩函數的圖象上，求點A的坐標．
19．網癮低齡化問題已引起社會各界的高度關注．有關部門在全國范圍內對12～35歲的網癮人群進行了抽樣調查．下圖是用來表示在調查的樣本中不同年齡段的網癮人數的，其中30～35歲的網癮人數占樣本總人數的20％．
(1)被抽樣調查的樣本總人數為__________人．
(2)請把統計圖中缺失的數據、圖形補充完整．
(3)據報道，目前我國12～35歲網癮人數約為200萬人，那么其中18～23歲的網癮人數約有多少人？
五、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)
20．2008年春節期間，某超市七天銷售總額達120萬元，項目分類及銷售額如下表所示，表中缺失了日用品類及煙酒類的相關數據．已知煙酒類銷售額是日用品類銷售額的5倍，結合表中信息，求日用品類及煙酒類的銷售額．
項目分類
日用品類
服裝類
食品類
煙酒類
銷售額（萬元）
12
36
21．如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AB=
，AD=6．
(1)求證：△ABE∽△ADB；
(2)延長DB到F，使BF=BO，連接FA，求證：FA是⊙O的切線．
六、解答題：(本題滿分5分)
22.如圖，把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形(圖甲)；將余下的部分分成4個全等的圖形(圖乙)．仿照示例，請你將一個正三角形割去四分之一后余下的部分
(1)分成3個全等的圖形(在圖1中畫出示意圖)；
(2)分成4個全等的圖形(在圖2中畫出示意圖)；
(3)你還能利用所得的4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎?若能，畫出大致的示意圖．
七、解答題：(本題滿分7分)
23.如圖，拋物線y=－x2+bx+c經過點A(1，0)和B(0，5).
(1)求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；
(2)拋物線與x軸的另一交點為C，在直線CB上是否存在一點P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由．
八、解答題：(本題滿分7分)
24．在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)，A(50，0)，B(50，50)，C(0，50).若正方形OABC的內部(邊界及頂點除外)一格點(“格點”是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點)滿足：S△POA?S△PBC=S△PAB?S△POC，就稱P為“好點”．
(1)請你判斷：P(20，15)是“好點”嗎？
(2)求出正方形OABC內部“好點”的個數．
九、解答題：(本題滿分8分)
25．已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，點D為BC上一點，把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放在D處．
(1)如圖1，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F，求出重疊部分AEDF的面積(直接寫出結果)；
(2)如圖2，若BD=CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F，設AE=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)若BD=2CD，將三角板繞點D逆時針旋轉，使一條直角邊交AC于點F、另一條直角邊交射線AB于點E，設CF=x(x>1)，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
圖1 圖2
解：(1)
(2)
(3)
北京市東城區2007年～2008學年度第二學期綜合練習(一)
一、選擇題：(共8個小題，每小題4分，共32分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
B
A
D
D
A
二、填空題：(共4個小題，每小題4分，共16分)
9．x≥－3 10．2(x－1)2 11．60° 12．±1
三、解答題：(共5個小題，每小題5分，共25分)
13．解：原式=
+1+2－6×
.
4分
=3. 5分
14．解：去分母，得3(x+1)+2x(x－1)=2(x－1)(x+1). 2分
去括號，得3x+3+2x2－2x=2x2－2. 3分
解得x=－5. 4分
經檢驗x=－5是原方程的解． 5分
∴原方程的解是x=－5．
15．解：x(x2－x)+x2(6－x)+3=x3－x2+6x2－x3+3. 3分
=5x2+3. 4分
∴原式=13. 5分
16．證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.BC=CA. 2分
∴∠DBC=∠ECA=180°－60°=120°. 3分
在△DBC與△ECA中，
∴△DBC≌△ECA． 4分
∴DC=AE． 5分
17．解：過點A、D分別作AE⊥BC、DF⊥BF，垂足分別為點E、F． 1分
（第17題圖）
在Rt△DCF中，∠DFC=90°．
由CD=4，cos∠C=
，
得CF=CD?cos∠C=4×=1．
2分
在梯形ABCD中，由AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C．
同理：BE=1 3分
易證四邊形AEFD為矩形．
∴EF=AD=4 4分
∴BC=6
∴梯形ABCD的周長為AD+AB+DC+BC=18 5分
四、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)
18．解：(1)因為一次函數y=2x－1的圖象經過點(k，5)，
∴5=2k－1．
∴k=3．
所以反比例函數的解析式為y=
． 2分
(2)由題意得：
解這個方程組得：
4分
因為點A在等一象限，則x>0，y>0
所以點A的坐標為(
，2)． 5分
19．(1)2400． 2分
(2)如圖． 3分
(3)∵200×
=50(萬人)，
∴18～23歲的網癮人數約有50萬人． 5分
五、解答題：(共2個小題，每小題5分，共10分)
20．解：設日用品類的銷售額為x萬元，煙酒類的銷售額為y萬元． 1分
依題意得，
3分
解得
4分
答：日用品的銷售額為12萬元，煙酒類銷售額為60萬元． 5分
21．(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE～△ADB． 2分
(2)連接OA．
∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°．
Rt△BAD中，tan∠ADB=
.
∴∠ADB=30°
∵AB=
BD，BF=BO=AB．
∴△ABO是等邊三角形．∴∠ABO=∠OAB=60°．
又可得∠BAF=30°．
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°．
∴FA是⊙O的切線． 5分
六、解答題：(本題滿分5分)
22．(1)(2)各2分，(3)答案不唯一 1分．
七、解答題：(本題滿分7分)
23．解：(1)根據題意，得
解得
∴拋物線的解析式為y=－x2－4x+5． 2分
頂點D的坐標為(－2，9)． 3分
(2)由拋物線的解析式y=－x2－4x+5．可得C點的坐標為(－5，0)．
∵B點的坐標為(0，5)，
∴直線CB的解析式為y=x+5.
<?>當OP∥CD，且OP≠CD時，四邊形PDCO為梯形．
∵直線CD的解析式為y=3x+15，OP∥CD，
∴直線OP的解析式為y=3x．
根據題意，得
解得
∴點P
.
∵OP=
，CD=
，
∴OP≠CD．
∴點P
即為所求．
5分
<ii>當DP∥CO，且DP≠CO時，四邊形PDCO為梯形．
根據題意，
解得
∴點P(4，9)．
∵OC=5，DP=6，
∴OC≠DP．
∴點P(4，9)即為所求． 7分
綜上所述，使四邊形PDCO為梯形的點P分別是P1，P2(4，9)．
八、解答題：(本題滿分7分)
24．(1)∵S△POA?S△PBC
=×50×15××50×35=252×15×35，
S△PAB?S△POC=×50×30××50×20=252×30×20，
∴S△POA?S△PBC≠S△PAB?S△POC. 2分
∴P(20，15)不是“好點”． 3分
(2)設P(x，y)其中x，y均為正整數，且0<x<50，0<y<50． 4分
由S△POA?S△PBC=S△PAB?S△POC，
得y(50－y)=x(50－x)，
(x－y)(x+y－50)=0
∴x=y或x+y=50． 6分
于是，點P在對角線OB或AC上．
故滿足條件的好點共有2×49－1=97個． 7分
九、解答題：(本題滿分8分)
解：(1)S四邊形AEDF=
．
1分
(2)過點D作DM⊥AB，垂足為點M，
y=BE?DM=(3－x)?
(3-x)(0≤x≤3)． 3分
(3)<i>如圖a：連接AD，過點D分別作AB、AC的垂線，垂足為M，N
圖a
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=
．
∵BD=2CD，∴BD=
，CD=
．
易得，DN=1，DM=2，
易證∠1=∠2，
∠DME=∠DNF=90°
∴△DME∽△DNF．
∴
.
∴ME=2(x－1)．
∴AE=2(x－1)+1=2x－1．
∴y=S△ADE+S△ADF=(2x－1)?2+(3－x)?1=x+(1<x≤2)．
6分
<ii>如圖b：過點D作AC的垂線，垂足為N，
圖b
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=．
∵BD=2CD，∴BD=，CD=．
易得，DN=1，y=S△ABC－S△CDF =
?1=(2<x≤3) 8分
∴y=
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