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天津市南開區2008高三年級質量調查（一）

數學（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分。

第I卷

一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1. 已知i是虛數單位，則（    ）

A.              B.               C.           D.

2. 設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為（    ）

A. 11            B. 12             C. 13            D. 14

3. 在△ABC中，“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要條件               B. 必要而不充分條件

C. 充要條件                             D. 既不充分也不必要條件

4. 設橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，離心率為，則此橢圓的標準方程為（    ）

A.          B.

C.          D.

5. 函數的反函數是（    ）

A.                  B.

C.                   D.

6. 若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中是真命題的是（    ）

A. 若，，，則

B. 若，，則

C. 若，則

D. 若，則

7. 若是定義在R上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的x的取值范圍是（    ）

A.           B.            C.               D.

8. 設是公比大于1的等比數列，構成等差數列，且前三項的和，那么公比q的值等于（    ）

A.            B. 2        C.             D. 3

9. 已知函數，則的值為（    ）

A.             B.             C.           D.

10. 已知是定義在R上的單調函數，實數，，，若，則（    ）

A.              B.              C.               D.

第II卷

二. 填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分。請把答案填在題中橫線上。

11. 在的二項展開式中常數項的值等于        （用數字作答）。

12. 過球面上A、B、C三點的截面與球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，那么球的表面積等于         。

13. 數列中，，，則等于     。

14. 兩圓交于點A（1，3）和B（m，1），兩圓的圓心都在直線上，則m+c的值等于         。

15. 設是平面直角坐標系內x軸，y軸正方向上的單位向量，且，，則△ABC面積的值等于         。

16. 如圖，在一個田字形區域A、B、C、D中栽種觀賞植物，要求同一區域中種同一種植物，相鄰區域中種不同植物（A與D、B與C不為相鄰）。現有4種不同植物可供選擇，則不同的種植方案有       種。（用數字作答）

三. 解答題：本大題共6個小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17. （本小題滿分12分）

已知函數。

（1）求的值；

（2）求的最小正周期和在區間上的最大值和最小值。

18. （本小題滿分12分）

某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。

（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續擊中目標的概率（用數字作答）；

（2）求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（用數字作答）；

（3）設隨機變量表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數，求的分布列。

19. （本小題滿分12分）

已知如圖，在四棱錐P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=。

（1）證明BC⊥平面PDC；

（2）求二面角D―PB―C的正切值；

（3）若，求證：平面PAB⊥平面PBC。

20. （本小題滿分12分）

已知函數。

（1）若函數的導函數是奇函數，求的值；

（2）求函數的單調區間。

21. （本小題滿分14分）

如圖，是拋物線上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且|MA|=|MB|。

（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；

（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程。

22. （本小題滿分14分）

設函數滿足，數列和滿足下列條件：，，。

（1）求的解析式；

（2）求的通項公式；

（3）試比較與的大小，并證明你的結論。

一. 選擇題：本題考查基礎知識和基本運算。

1. B     2. A      3. C              4. A              5. D        6. D        7. D        8. B

9. D    10. A

二. 填空題：本題考查基礎知識和基本運算。

11. 7          12.             13             14. 3

15. 5          16. 84

三. 解答題：

17. 本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角和公式、二倍角公式、函數的性質等基礎知識，考查基本運算能力。

（1）解：，

∴

（5分）

（2）解：

最小正周期為

∵      ∴

    ∴ （12分）

18. 本小題要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力。

（1）解：設“射手射擊1次，擊中目標”為事件A

則在3次射擊中至少有兩次連續擊中目標的概率

=（5分）

（2）解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率

（10分）

（3）由題設，“”的概率為

且所以的分布列為：

3

4

…

k

…

P

…

…

（12分）

19. 本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。

（1）解：由PD⊥平面ABCD，平面ABCD，得PD⊥BC

由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC

又，則BC⊥平面PDC（3分）

（2）解：取PC中點E，連DE，則DE⊥PC

由BC⊥平面PDC，平面PBC

得平面PDC⊥平面PBC  ∴ DE⊥平面PBC

作EF⊥PB于F，連DF

由三垂線定理，得DF⊥PB

則∠DFE為二面角D―PB―C的平面角

在中，求得

在中，求得

在中，

即二面角D―PB―C的正切值為（8分）

（3）證：取PB中點G，連AG和EG

由三角形中位線定理得GE//BC，

由已知，AD//BC，

∴ AD=GE，AD//GE

則四邊形AGED為平行四邊形

∴ AG//DE

由（2）已證出DE⊥平面PBC

∴ AG⊥平面PBC

又平面PAB    ∴ 平面PAB⊥平面PBC（12分）

20. （本小題考查導數的意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，考查利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。

（1）解：由已知得

∵ 函數的導函數是奇函數

∴    解得（5分）

（2）由

① 當時，恒成立

∴ 當時，函數在R上單調遞減

② 當時，解得

即

∴ 當時，在內單調遞增，在內單調遞減（12分）

21. 本小題主要考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力。

（1）解：設，直線ME的斜率為，則直線MF的斜率為，直線ME的方程為)

由得

解得

所以    ∴

同理可得     ∴

∴ （定值）（8分）

（2）解：當∠EMF=90°，∠MAB=45°，所以k=1

由（1）得

設重心則有

消去參數得（14分）

22. 本小題以數列的遞推關系為載體，主要考查等比數列的通項公式，不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數字知識分析問題和解決問題的能力。

（1）解：由已知  

∴

聯立解得（4分）

（2）解：由（1）知    ∴

兩式相減

即    ∴

∴    ∴ 數列是公比為2的等比數列

又∵      ∴    ∴    ∴

∴      ∴ （10分）

（3）解：由（2），而已知

聯立解得     ∴

∴

時，   ∴ ；

時，    ∴ ；

時，    ∴ ；

時，    ∴ ；

猜想時，   即

時，顯然成立

假設當時，命題正確，即

當時，

即

不等式也成立，故對一切且，

綜合：當時，；當時，；當時，（14分）