安慶二中高二數學期中考試試卷
命題人:余永安 (2009-4-17)
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.曲線
在點(1 ，
)處切線的傾斜角為( )
A.
B.
C. 
D.
2.若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函數
的圖象與x軸及直線
圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為
，則
（ ）
A．
B. 
C.
D.
4．下面推理過程是演繹推理的是（ ）
A．三角函數是周期函數，
是三角函數，所以是周期函數
B．由圓在平面直角坐標系下的坐標方程，推測球在空間直角坐標系下的坐標方程
C．某校高三共有10個班，（1）班有51人，（2）班有53人，（3）班有52人，由此推測各班人數都超過50人
D．地球上有生命存在，因此火星上也可能有生命存在。
5．已知函數
的圖象如右圖所示（其中
是
函數
的導函數），下面四個圖象中
的圖
象大致是（ ）
6.函數
的導數是( )
A. 
B.
C. 
D.
8、已知奇函數在區間
上的解析式為
，則切點橫坐標為1的切線方程是（ B ）
A、
B、
C、
D、
5、已知函數
，則
（ D ）
A、4
B、
7．已知
＜
＜ 
，則（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函數
的零點所在的大致區間是（ ）
A．
B．
C．
D．
9. 已知
，若方程
的兩個實數根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率，則（ ）
10．若方程
有兩個實數解，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函數
，則
是
（ B
）
A. 奇函數 B . 偶函數 C. 非奇非偶函數 D. 既奇又偶函數
12．定義在R上的函數滿足
．
為的導函數，已知函數
的圖象如右圖所示.若兩正數
滿足
，則
的取值范圍是（ C ）
A.
B.
C.
D.
二.填空題
13．已知集合
，則
。
14．電動自行車的耗電量
與速度
這間的關系為
，為使耗電量最小，則其速度應定為
15. 過點
和曲線
相切的直線方程為_____
16. 觀察下列不等式：
≥
，
≥
，
≥
，…，由此猜測第
個不等式為 ．（
）
三. 解答題（本大題共6個小題，共74分）
17.已知函數
（Ⅰ）證明：函數在上為增函數；
（Ⅱ）證明：方程
沒有負實數根.
18.已知函數
,(a
R),設曲線
在點(1 
)處的切線為
,若與圓C: 
相切，求a的值
19已知函數
，
．
（Ⅰ）求曲線在
處的切線方程；
（Ⅱ）求由曲線及直線
所圍封閉區域的面積．
20．（本題滿分14分）已知數列
滿足
，且
用數學歸納法證明：
；
20．（本題滿分12分）統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：
．已知甲、乙兩地相距100千米
（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
21.已知函數
(其中
且
,為實數常數)．
（1）若
，求的值(用表示)；
（2）若
且
對于
恒成立，求實數m的取值范圍(用表示)．
22.已知函數
取得極小值
.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設直線
. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
（1）直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
（2）對任意x∈R都有
. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”.
試證明：直線
是曲線
的“上夾線”.
22．（本小題滿分12分）
已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調區間和極值；
（Ⅱ）若
對滿足
的任意實數
恒成立，求實數
的取值范圍（這里
是自然對數的底數）；
（Ⅲ）求證：對任意正數
、
、
、
，恒有
.
1-15 D AC AC A ABAA BC
13．
14.40 15.
或
16. 
17.證明：（Ⅰ）
函數
在
上為增函數；
（Ⅱ）反證法：假設存在
，滿足
則
這與矛盾，假設錯誤
故方程
沒有負數根
18.解：依題意有：
= a,
=2ax+
(x<2)
方程為
=0
與圓相切 
=
a=
19.解：（Ⅰ）
，
……………………………2分
∴
，
……………………………3分
又
，
……………………………4分
∴曲線
在
處的切線方程為
， …………5分
即
．
…………………6分
（Ⅱ）由
消去
得
，解得
，
，……7分
所求面積
， …………9分
設
，則
， …………10分
∴
．
……………………12分
21.（1）當
時,當
時,
.
由條件可知，
,即
解得
∵ 
………….5分
（2）當
時,
即
故m的取值范圍是
…………….12分
22. 解：（I）因為
，所以
----1分
，
解得
，
------------------------3分
此時
，
當
時
，當
時
，
----------5分
所以
時取極小值，所以符合題目條件；
----------6分
（II）由
得
，
當
時，，此時
，
，
，所以
是直線
與曲線
的一個切點；
-----8分
當
時，，此時
，
，
，所以
是直線與曲線的一個切點；
-----------10分
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
對任意x∈R，
，
所以
因此直線
是曲線
的“上夾線”. ---------------------14分
22.【解】（Ⅰ）
∴
的增區間為
，減區間為
和
.
極大值為
，極小值為
.…………4′
（Ⅱ）原不等式可化為
由（Ⅰ）知，
時，的最大值為
.
∴
的最大值為
，由恒成立的意義知道
，從而
…8′
（Ⅲ）設
則
.
∴當
時，
，故
在
上是減函數，
又當
、
、
、
是正實數時，
∴
.
由的單調性有：
，
即
.…………12′
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