北京市宣武區2008―2009學年度第二學期第一次質量檢測
高 三 數 學（文） 2009.4
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁，全卷滿分150分，考試時間為120分鐘。
第I卷（選擇題 共40分）
一、選擇題（本大題共有8個小題，每小題5分，共40分；在每個小題給出的四個選項中，有且僅有一個是符合題目要求的）
1．已知集合
，集合
，集合
，則
A．
B．
C．
D．
2．若
是空間兩條不同的直線，
是空間的兩個不同的平面，則
的一個充分不必要條件是
A．
B．
C．
D．
3．函數
的反函數是
A．
B．
C．
D．
4．已知
滿足條件
，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
5．在等差數列
中，
則
A．24
B．
6．直線
上的點到圓
上的點的最近距離是
A．
B．
C．
D．1
7．一次演出，原計劃要排4個節目，因臨時有變化，擬再添加2個小品節目，若保持原有4個節目的相對順序不變，則這6個節目不同的排列方法有
A．20種 B．25種 C．30種 D．32種
8．連結球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別為和，M,N分別是AB、CD 的中點，兩條弦的兩端都在球面上運動，有下面四個命題：
① 弦AB、CD可能相交于點M；
② 弦AB、CD可能相交于點N；
③ MN的最大值是5；
④ MN的最小值是1。
其中所有正確命題的序號為
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分；把答案填在相應的位置上）
9．函數
的定義域是
10．已知
，則
11．若
展開式的二項式系數之和為256，則
=_________，其展開式的常數項等于
__________。（用數字作答）
12．已知兩個向量
，若
，則
的值為
13．等比數列中，
則
=
14．設函數
表示不超過實數
的最大正數，則函數
的值域是
三、解答題（本大題共6個大題，共80分；解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟）
15．（本題滿分13分）
已知
的三個內角A，B，C所對的邊飯分別為
，向量
（1） 求角B；
（2）
若
，判斷的形狀。
16．（本題滿分13分）
每次拋擲一枚質地均勻的骰子（六個面上分別標以數字1，2，3，4，5，6）
（1） 連續拋擲3次，求向上的點數互不相同的概率；
（2） 連續拋擲3次，求向上的點數之和為6的概率；
（3） 連續拋擲6次，求向上的點數為奇數且恰好出現4次的概率。
17．(本題滿分13分)
如圖，已知四棱錐
的底面的菱形，
，點
是
邊的中點，
交于點
，
（1）求證：
；
（2）若
的大小；
（3）在（2）的條件下，求異面直線
與
所成角的余弦值。
18．（本題滿分13分）
設定義在R上的函數
當
時
取得極大值
，且函數
的圖象關于點
對稱。
（1）求函數的表達式；
（2）試在函數
的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間
上；
19. （本題滿分14分）
已知拋物線
，直線
交拋物線C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交拋物線C于點N,
（1）
證明：拋物線C在N點處的切線
與AB平行；
（2）
是否存在實數
，使得
。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
20. （本題滿分14分）
由函數
確定數列，
，函數的反函數
能確定數列
，
若對于任意
都有
，則稱數列是數列的“自反函數列”
（1）
設函數
，若由函數
確定的數列的自反數列為，求
；
（2）
已知正整數列
的前項和
。寫出
表達式，并證明你的結論；
（3）
在（1）和（2）的條件下，
，當
時，設
，
是數列
的前項和，且
恒成立，求的取值范圍。
北京市宣武區2008―2009學年度第二學期第一次質量檢測
一、選擇題（本大題共有8個小題，每小題5分，共40分；在每個小題給出的四個選項中有且僅有一個符合題目要求的）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
A
C
C
A
二、填空題（本大題共有6個小題，每小題5分，共30分；請把答案填在相應的位置）
題號
9
10
11
12
13
14
答案
8,70
三、解答題
15．（本題滿分13分）
解：（1）
（2）
當
時，此時
，
為直角三角形；
當
時，為直角三角形。
16. （本題滿分13分）
解：（1）向上的點數互不相同的概率為
（2）向上的點數之和為6的結果有
共10中情況，
所以
（3）因為每次拋擲骰子，向上的點數為奇數的概率為
所以根據獨立重復試驗概率公式得
17．（本題滿分13分）
解：解答一：（1）在菱形
中，連接
則
是等邊三角形。
（2）
（3）取
中點
，連結
解法二：（1）同解法一；
（2）過點
作平行線交
于
,以點為坐標原點,建立如圖的坐標系
二面角
的大小為
（3）由已知，可得點
即異面直線
所成角的余弦值為
18．（本題滿分13分）
解：（1）將函數
的圖象向右平移一個單位，得到函數
的圖象，
函數的圖象關于點（0，0）對稱，即函數是奇函數，
由題意得：
所以
（2）由（1）可得
故設所求兩點為
滿足條件的兩點的坐標為：
19. （本題滿分14分）
解：（1）由
，
設
則
由知，拋物線C在點N處是切線
的斜率
因此，拋物線C在點N處的切線與直線AB平行。
（2）假設存在實數
，使得
，則
由M是線段AB的中點。
由
軸，知
解得
（舍去）
存在實數
，使得
20. （本題滿分14分）
解：（1）由題意得
（2）
正整數
的前
項和
解之得
當
時，
以上各式累加，得
（3）在（1）和（2）的條件下，
當時，設
，由
是數列
的前項和
綜上
因為
恒成立，所以
小于的最小值，顯然的最小值在
時取得，即
滿足的條件是
解得
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