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練習冊

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試題

山西省太原五中2008―2009學年度第二學期月考試題(5月)

高三數(shù) 學(理)

第Ⅰ卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 設為虛數(shù)單位，則的展開式中第三項為（）

A． B． C． D．

2. 已知集合，，，則的取值范圍為（）

A． B． C． D．

3. “”是“直線和直線互相垂直”的（）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分又不必要條件

４. 橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）

A． B． C．2 D．４

5. 對于不重合的兩個平面與，給定下列條件

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③存在直線，直線，使得；

④存在異面直線、，使得，，，；其中可以判定與平行的條件有( )

A．１個 B．２個 C．３個 D．４個

6. 從集合中任取３個不同的數(shù)排成數(shù)列，則這個數(shù)列為等差數(shù)列的概率為（　　　）

A． B． C． D．

7. 若，則與的大小關系是（）

A． B．

C． D．與的取值有關

8. 已知F₁、F₂是橢圓左、右焦點，過F₁的直線與橢圓相交于A、B，且，，則橢圓離心率為（）

A． B． C． D．

9.若直線通過點，則（）

A． B． C． D．

10.已知圖甲中的圖像對應的函數(shù)，則圖乙中的圖像對應的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是 ( )

甲乙

A． B． C． D．

11.已知可導函數(shù)，則當時，大小關系為（）

A． B． C． D．

12. 在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2009個數(shù)是（）

_A.3955 B.3957 C.3957 D.3961

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填答題卷中相應的橫線上．

13. 設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則

14. 已知曲線與直線有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是 .

15．已知如圖，正方體的棱長為，以頂點為球心，為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于 _________ ．

16.已知圓，圓，過圓上的點M向圓作切線，為切點，給出下列命題：

①兩圓上任意兩點間的距離的范圍是

②確定時，兩圓的公切線有兩條

③對于任意存在定直線與兩圓都相交

④的范圍是

其中正確的命題是。

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且當時，的最大值為．

(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)是否存在向量，使得將的圖象按照向量平移后可以得到一個奇函數(shù)的圖象？若存在，請求出滿足條件的一個；若不存在，請說明理由．

18．（本小題滿分10分）已知數(shù)列、滿足，，且，

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求.

19. （本小題滿分10分）在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3，的三張卡片，從這個盒子中，有放回地先后抽取兩張卡片的標號分別為，，記.

(Ⅰ)求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

(Ⅱ) 求隨機變量的分布列和數(shù)學期望。

20. （本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.

（Ⅰ）試證：CD平面BEF;

（Ⅱ）設PA＝k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.

21．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線是拋物線的一條切線．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

22. （本小題滿分14分）設函數(shù)，其圖象在點處的切線的斜率分別為．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍；

（Ⅲ）若當時（是與無關的常數(shù)），恒有，試求的最小值．

一、選擇題：（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

C

D

C

B

C

B

A

二、填空題：（每小題5分，共20分）

13、 0.1； 14、__（0，1]_； 15、； 16、①④ ；

三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17. (1)由得：， ……………………………… 2分

即， ……………… 4分

當時，，

　　因為，有，，得

故 …………………………… 7分

(2)∵是奇函數(shù)，且將的圖象先向右平移個單位，再向上平移1個單位，可以得到的圖象，∴是滿足條件的一個平移向量．……10分

18. (Ⅰ)，……5分

（Ⅱ），……8分

，……10分

19. (Ⅰ) ，的可能取值為1，2，3

∴ ∴，因此，隨機變量的最大值為3

……5分

（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，則……6分

，，，……9分

隨機變量的分布列（略）

……10分

20．(Ⅰ) 解法一：

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（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF. ………..4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. 　　………..7分

（Ⅱ）連結AC交BF于G.易知G為AC的中點.連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。設AB=a,則在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下計算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因為AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　

而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分

由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=

解之得，k的取值范圍為k＞………..14分

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標系，設AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為

高考資源網(wǎng)(www.ks5u.com)，中國最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故 .

設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）設E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.

從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a ①

又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，即2x+y=2a ②

由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范圍為k＞.

21．解：（1）由

因直線相切，

，

∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，∴

故所求橢圓方程為 …………4分

（2）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

由

即兩圓相切于點（0，1）

因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…………8分

事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下．

當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

由

記點、

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）

所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．…………12分

22. 解答：（1），由題意及導數(shù)的幾何意義得

，　（1）

，（2） ……2分

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

，（3） ……4分

將代入（2）得，即方程有實根．

故其判別式得，或, （4）

由（3），（4）得；……6分

（2）由的判別式，

知方程有兩個不等實根，設為，

又由知，為方程（）的一個實根，則有根與系數(shù)的關系得

， ……8分

當或時，，當時，，

故函數(shù)的遞增區(qū)間為，由題設知，

因此，由（Ⅰ）知得的取值范圍為；……10分

（3）由，即，即

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