一元二次方程專題復習（二）
根與系數的關系及其應用
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，那么
反過來，如果x1，x2滿足x1+x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根．一元二次方程的韋達定理，揭示了根與系數的一種必然聯系．利用這個關系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數式的值、構造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學數學中的一個有用的工具．
【典型例題】
應用一：已知一個根，求另一個根；
例1 ： 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x2＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．
解 : 先求出a，b．
由觀察知，1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達定理知，另一根為
，于是可得a=1.又從觀察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．
所以a-b=1-(-1999)=2000．
應用二：求根的代數式的值
不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系求兩個代數式的值關鍵是把所給的代數式經過恒等變形，化為含
，
的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代數式的值．常見的代數式變形有：
①
②
③ 
④ 
⑤
例2： 已知二次方程x2-3x＋1=0的兩根為α，β，求：
（1）
（2）
(3)α3＋β3
解： 由韋達定理知 ： α+β=3， α?β=1．
（1）
（2）
(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；
例3： 設方程4x2-2x-3=0的兩個根是α和β，求4α2＋2β的值．
解： 因為α是方程4x2-2x-3=0的根，所以
4α2-2α-3＝0，
即 4α2=2α＋3．由韋達定理可知，
.所以
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．
例4： 已知α，β分別是方程x2＋x-1=0的兩個根，求2α5+5β3的值．
解： 由于α，β分別是方程x2＋x-1=0的根，所以
α2+α-1=0，β2+β-1=0，
即 α2=1-α，β2=1-β．
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α
= -3(1-α)+2α=5α-3，
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．
說明： 此解法的關鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數降次，最后都降到一次，這種方法很重要．
應用三：與兩根之比有關的問題；
例5： 已知x1，x2是一元二次方程 4x2-(
，求m的值.
解： 首先，△=(
從上面兩式中消去k，便得
即 m2
所以 m1=1，m2=5．
應用四：求作新的二次方程
例6： 求一個一元二次方程，使它的兩根分別是
。
解：
例7：
已知方程
的兩根為
，求一個一元二次方程，使它兩根為
和
。
分析：所求方程
，只要求出
的值即可。
解：設所求一元二次方程為
為方程的兩根
∴由韋達定理
又
∴所求一元二次方程為 
即：
點撥：應用根系關系構造方程，如果方程有兩實根
，那么方程為
，當
為分數時，往往化成整系數方程。
應用五：求方程中某些待定字母系數的值
例8：
已知是關于x的一元二次方程
的兩個實數根。
（1）用含m的代數式表示
；
（2）當
時，求m的值。
解：（1）由題意：
（2）由（1）得：
解得：
檢驗：當
時，原方程無實根。
∴舍去
當
時，原方程有實根。
∴
點撥：易忽略檢驗，要學會靈活應用一元二次方程有關概念，及判別式，根系關系。
應用六：判斷一元二次方程根的符號
例9： 已知方程
.m為何值時，方程有兩個正根.
解：
.
，
∴m為任何實數時，方程都有兩個不相等的實數根.
當方程的兩個根都為正數時，有
，且
.解不等式組
，解得 m>7. ∴ m>7時，方程有兩個正實數根
【模擬試題】
一. 選擇題。
1. 已知
是關于x的一元二次方程
的一個根，則k與另一根分別為（
）
A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2
2. 已知方程
的兩根互為相反數，則m的值是（
）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
3. 若方程
有兩負根，則k的取值范圍是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 若方程
的兩根中，只有一個是0，那么（
）
A. 
B. 
C. 
D. 不能確定
5. 方程
的大根與小根之差等于（ ）
A. 
B. 
C.
1
D. 
6. 以
為根的，且二次項系數為1的一元二次方程是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 若方程組
有兩組相同的實根，則m=_______________。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二. 填空題。
7. 關于x的一元二次方程
的兩根互為倒數，則m＝________。
8. 已知一元二次方程
兩根比2：3，則a，b，c之間的關系是______。
9. 已知方程
的兩根，且
，則
________。
10. 已知是方程
的兩根，不解方程可得：
________，
________。
11. 已知
，則以為根的一元二次方程是______________________________。
12.如果一個矩形的長和寬是一元二次方程
的兩個根，那么這個矩形的周長是_________
三. 解答題。
13. 已知方程
的兩個實根中，其中一個是另一個的2倍，求m的值。
14. 已知方程
的兩根
不解方程，求
的值。
15. 已知方程
的兩根，求作以
為兩根的方程。
16. 設是方程
的兩個實根，且兩實根的倒數和等于3，試求m的值。
17.已知關于x的方程
（1）當方程有兩個相等的實數根，求m的取值，并求出此時方程的根。
（2）是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出m的值，不存在，說明理由。
2007-2008年北京中考數學一元二次方程試題匯編
1.已知關于x的一元二次方程
的兩個不相等的實根中，有一個根是0，則m的值為_________________________.
2.已知：關于x的二次方程
的一個根為x=1，且有
，則
的值為_____________________.
3.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價均為m元的商品，甲超市連續兩次降價20%，乙超市一次性降價40%，丙超市第一次降價30%，第二次降價10%，此時顧客要購買這種商品最劃算應到的超市是 （ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
4.“5?
米，所列方程正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知：關于的一元二次方程
．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為
，
（其中
）．若
是關于
的函數，且
，求這個函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：當自變量的取值范圍滿足什么條件時，
．
（1）證明：
（2）解：
 |
（3）解：
7.已知：關于x的兩個方程
① 與 
②
方程①有兩個不相等的負實數根，方程②有兩個實數根
⑴求證方程②的有兩根符號相同；
⑵設方程②的兩根分別為
，若
：
=1：3，且n為整數，求m的最小整數值.
8.已知關于x的一元二次方程
有兩個不相等的實數根.
⑴ 求k的取值范圍；
⑵ 如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程與
有一個相同的根，求此時m的值.
9.北京申奧成功，促進了一批產業的迅速發展，某通信公司開發了一種新型通信產品投放市場，根據計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少
，第三年比第二年減少
，該產品第一年收入資金約為400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收回，還要贏利，要實現這一目標，該產品收入的年平均增長率約是多少？（百分號前保留整數，參考數據：
）
10.某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，根據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產品的銷售情況請解答以下問題：
⑴ 當銷售單價為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
⑵ 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
11. 某商店有一批襯衫將出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，為了盡快減少庫存，增加盈利，商場決定降價出售，經過調查得知，若每件襯衫降價1元，則平均每天多售出2件，問：
（1）每件襯衫應降價多少元時，平均每天可盈利1200元；
（2）商場每天盈利能不能達到1250元，若能達到，每件襯衫應降價多少元？若不能達到，請說明理由。
12. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖1，如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖1所示，余下的部分作為耕地．要使耕地的面積為
13. 某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為
．在溫室內，沿前側內墻保留
？
14. 在一幅長
，設金色紙邊的寬為
cm，那么滿足的方程為
.
15.在長為
16.如圖，有一長方形的地區，長為x千米，寬為
16.一塊矩形耕地大小尺寸（如圖1所示）要在這塊土地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠，如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為
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