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本資料來源于《七彩教育網》http://www.7caiedu.cn

第十九單元  導數

一.選擇題

(1) 下列求導運算正確的是                                          (       )

A．(x+               B．(log₂x)′=  

C．(3^x)′=3^xlog₃e                  D． (x²cosx)′=-2xsinx  

(2) 函數y＝x²＋1的圖象與直線y＝x相切，則＝                    (       )

A．            B．          C．             D．1

(3) 函數是減函數的區間為                        (       )

A．  B．     C．           D．（0，2）

(4) 函數已知時取得極值，則= (       )

A．2           B．3          C．4          D．5

(5) 在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是           (       )

    A．3            B．2              C．1              D．0

(6) 設f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x) ＝ f_n′(x)，n∈N，則f₂₀₀₅(x)＝     (       )

A．sinx　          B．－sinx　      C．cosx           D．－cosx

(7) 已知函數的圖象如右圖所示（其中 是函數的導函數），下面四個圖象中的圖象大致是 (       )

(8)設在[0, 1]上的函數f(x)的曲線連續, 且f′(x)>0, 則下列一定成立的是 (       )

A． f(0)<0       B． f(1)>0        C． f(1)> f(0)         D． f(1)<f(0) 

(9)設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x＜0時,＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是  (       )

A．  (-3,0)∪(3,+∞)               B．  (-3,0)∪(0, 3)

    C．  (-∞,- 3)∪(3,+∞)            D．  (-∞,- 3)∪(0, 3)

(10)若的大小關系                             (       )

    A．    B．    C．      D．與x的取值有關

二.填空題

(11)設f(x)= x|x|, 則f′(  0)=         .

(12)函數在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值分別是          .

(13)若曲線y=h(x)在點P(a, h(a))處的切線方程為2x+y+1=0，則與0的大小關系是        0

(14)過原點作曲線的切線，則切點的坐標為           ，切線的斜率為        .

三.解答題

(15) 已知函數的圖象過點P（0,2）,且在點M處的切線方程為.

 （Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）求函數的單調區間.

(16) 已知函數在處取得極值.

（Ⅰ）討論和是函數的極大值還是極小值；

（Ⅱ）過點作曲線的切線，求此切線方程.

(17) 已知向量在區間（－1，1）上是增函數，求t的取值范圍.

(18) 已知是函數的一個極值點，其中，

（I）求與的關系式；

（II）求的單調區間；

（III）(理科做)當時，函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.

一選擇題:

1.B  

[解析]：A錯，∵(x+

          B正確，∵(log₂x)′=  

C錯，∵(3^x)′=3^xln3                 

D錯，∵(x²cosx)′=2xcosx+ x²(-sinx)

2.B  

[解析]：此題利用導數作麻煩！

        把兩個解析式聯立得方程x^2-x＋1=0,由=0即得＝

3.D  

[解析]：由<0，得0<x<2

∴函數是減函數的區間為（0，2）

4.D  

[解析]：∵，又時取得極值

∴

則=5

5.D  

[解析]：切線的斜率為

又切線的傾斜角小于，即

故

解得：

故沒有坐標為整數的點

6.C  

[解析]：f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)=cosx，f₂(x)＝f₁′(x)= -sinx，

f₃(x)＝f₂′(x)= -cosx， f₄(x) ＝ f₃′(x)=sinx，循環了

則f₂₀₀₅(x)＝f₁(x)＝cosx

7.C  

[解析]：由函數的圖象可知：

        當時， <0，>0，此時增

當時，>0，<0，此時減

當時，<0，<0，此時減

當時，>0，>0，此時增

8.C  

[解析]：因為在[0, 1]上的函數f(x)的曲線連續, 且f′(x)>0，

        所以函數f(x) 在[0, 1]是增函數，

        故f(1)> f(0)

9.D  

[解析]：∵當x＜0時,＞0 ，即

                 ∴當x＜0時，f(x)g(x)為增函數，

又g(x)是偶函數且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0

         故當時，f(x)g(x)＜0

         又f(x)g(x)是奇函數，

         當x>0時，f(x)g(x)為減函數，且f(3)g(3)=0

         故當時，f(x)g(x)＜0

         故選D

10.D 

[解析]：令  ，則

        當時，<0,

        當時，=0，

當時，>0

即當時，先遞減再遞增，

而

故的值與x取值有關，即2x與sinx的大小關系與x取值有關

二填空題:

11. 0    

[解析]：∵ ∴f′(  0)=0

12. 3，-17 

[解析]：由=0，得，

        當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的極小值、極大值分別為，

        而

故函數在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17。

13. <

[解析]：∵曲線y=h(x)在點P(a, h(a))處的切線的斜率為

而已知切線方程為2x+y+1=0，即斜率為－2

故=－2

∴< 0

14. （1，e） e

[解析]：

設切點的坐標為（，切線的斜率為k,

則，故切線方程為

又切線過原點，∴

三解答題

(15) 解：（Ⅰ）由的圖象經過P（0，2），知d=2，

所以

由在處的切線方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得  當

當

故內是增函數，

在內是減函數，在內是增函數.

 (16)（Ⅰ）解：，依題意，，即

解得.

∴.

令，得.

若，則，

故在上是增函數，在上是增函數.

若，則，故在上是減函數.

所以，是極大值；是極小值.

（Ⅱ）解：曲線方程為，點不在曲線上.

設切點為，則點M的坐標滿足.

因，故切線的方程為

注意到點A（0，16）在切線上，有

化簡得，解得.

所以，切點為，切線方程為.

(17)解： 依定義

的圖象是開口向下的拋物線，

(18) 解(I)因為是函數的一個極值點,

所以,即，所以

（II）由（I）知，=

當時，有，當變化時，與的變化如下表：

1

0

0

調調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

故有上表知，當時，在單調遞減，

在單調遞增，在上單調遞減.

（III）由已知得，即

又所以即①

設，其函數開口向上，由題意知①式恒成立，

所以解之得

又

所以

即的取值范圍為

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