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練習(xí)冊

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試題

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次階段考試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．

1．若集合，，則等于（）

A．{0}　　　　　 B．　　　　C．S　　　　　 D．T

2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，那么下列S₁₃值的是（）

A．130B．65C．70D．以上都不對

3、下列命題正確的是（　　）

A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

B．函數(shù)的最小正周期為

C．函數(shù)的圖像是關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的圖形

D．函數(shù)的圖像是關(guān)于直線成軸對稱的圖形

4、在△ABC中，已知向量，則△ABC為（）（）

A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形

5、α、β為兩個互相垂直的平面，a、b為一對異面直線，下列條件：①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a與α的距離等于b與β的距離，

其中是a⊥b的充分條件的有（）

A．①④ B．① C．③ D．②③

A、-1 B、1 C、0 D、0或±1

7、A，B，C，D四個城市之間有筆直的公路相連接，客運(yùn)車行駛于各城市之間，其票價與路程成正比.具體票價如圖

則BD之間的票價應(yīng)為________

A、7元 B、7.5元

C、8元 D、8.5元

8、過拋物線y=x²準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，若切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN過定點(diǎn)（）

A、（0，1） B、（1，0） C、（0，-1） D、（-1，0）

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．

9．若集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

10、已知△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)△BCP與△ABP的面積分別為s₁,s₂,則s₁:s₂=_________

11、數(shù)列滿足，若，則的值為____

12、球面上有3個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過這3個點(diǎn)的小圓的周長為4π，那么這個球的直徑為

13（選做題）、在直角坐標(biāo)系中將曲線C₁：xy=繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到曲線C₂，則曲線C₂截y軸所得的弦長為_______________________.

14（選做題）、已知不等式|2x-4|+|3x+3|+2|x-1|+2a-3<0的解集非空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____________

15（選做題）、如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過B點(diǎn)的切線與AD的延長線交于點(diǎn)C，且AD=DC，則sin∠ACO=_________

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

17（13分）、已知{a_n}為等比數(shù)列，{b_n}為等差數(shù)列，其中a₂=b₄,a₃=b₂,a₄=b₁，且a₁=64,公比q≠1

（Ⅰ）求a_n,b_n；

（Ⅱ）設(shè)c_n=log₂a_n，求數(shù)列{c_na_n}的前n項(xiàng)和T_n

圖1

19、（14分）已知函數(shù)f(x)=ax³+x²-x (a∈R且a≠0)

（1）若函數(shù)f(x)在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍.

（2）證明：當(dāng)a>0時，函數(shù)在f(x)在區(qū)間（）上不存在零點(diǎn)

20、（14分）設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個數(shù)為f(n)(n∈N*).

（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達(dá)式；（可以不作證明）

（2）記，若對于一切正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

（3）(附加題，做對加4分)求證：當(dāng)n∈N⁺時，

21、（14分）已知點(diǎn)H（－3，0），點(diǎn)P在軸上，點(diǎn)Q在軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足， .

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在軸上移動時，求點(diǎn)M的軌跡C；

（Ⅱ）過定點(diǎn)作直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由.

廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)第三次階段考試答卷

題號

一

二

16

17

18

19

20

21

分?jǐn)?shù)

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．

9、_________________________ 10、____________________________

11、_________________________ 12、____________________________

13、(選做題)__________________ 14、(選做題)____________________

15、(選做題)__________________

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟

16、

17、

18、

19、

20、

21、

CACD CCBA

9、 10、2:1 11、 12、 13、4

14、a<-1 15、

16、

17、解：（I）依題意

…………2分

…………4分

bn=8+8×(n-1)=8n …………5分

（II） …………6分

…………12分

18、（1）3

（2）底面邊長為2，高為4是，體積最大，最大體積為16

19、

略解、（1）因?yàn)閒′(x)=3ax²+2x-1，依題意存在（2，+∞）的非空子區(qū)間使3ax²+2x-1>0成立，即在x∈（2，+∞）某子區(qū)間上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值為，故

（2）由已知a>0

令f′(x)=3ax²+2x-1>0

得故f(x)在區(qū)間（）上是減函數(shù)，即f(x)在區(qū)間（）上恒大于零。故當(dāng)a>0時，函數(shù)在f(x)在區(qū)間（）上不存在零點(diǎn)

20、（1）f(1)=3………………………………………………………………………………（1分）

f(2)=6………………………………………………………………………………（2分）

當(dāng)x=1時，y=2n，可取格點(diǎn)2n個；當(dāng)x=2時,y=n，可取格點(diǎn)n個

∴f(n)=3n…………………………………………………………………………（4分）

（2）………………………………………………（9分）

∴T₁<T₂=T₃>T₄>…>T_n

故T_n的最大值是T₂=T₃=

∴m≥………………………………………………………………（）

21、解：（Ⅰ）設(shè),

且, …………………2分

…………………3分

. ………………………………………………4分

∴動點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線（除去原點(diǎn)）.

　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：（1）當(dāng)直線垂直于軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有；

……………6分

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時，依題意，可設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

消去并整理，得

,

. ……………7分

設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

. …………………9分

,

,

，

.

綜合（1）、（2）可知. …………………10分

解法二：依題意，設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組:

消去并整理，得

,

. ……………7分

設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

. …………………9分

,

,

，

. 　……………………………………………………10分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點(diǎn)為，與AD為直徑的圓相交于點(diǎn)F、G，FG的中點(diǎn)為H，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

,

,

. …………………………12分

,

令，得

此時，.

∴當(dāng)，即時，（定值）.

∴當(dāng)時，滿足條件的直線存在，其方程為；當(dāng)時，滿足條件的直線不存在.

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