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2009年高考數學總復習解題思維專題講座之四

   數學思維的開拓性

一、概述

數學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。

“數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯系，把親緣關系結成一張網，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發學習數學的興趣和積極性，達到開發潛能，發展智力，提高能力的目的。從而培養創新精神和創造能力。

在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發現解題規律，從中發現最有意義的簡捷解法。

數學思維的開拓性主要體現在：

(1)    一題的多種解法

例如  已知復數滿足，求的最大值。

我們可以考慮用下面幾種方法來解決：

①運用復數的代數形式；

②運用復數的三角形式；

③運用復數的幾何意義；

④運用復數模的性質（三角不等式）；

⑤運用復數的模與共軛復數的關系；

⑥（數形結合）運用復數方程表示的幾何圖形，轉化為兩圓與有公共點時，的最大值。

(2)    一題的多種解釋

例如，函數式可以有以下幾種解釋：

①可以看成自由落體公式

②可以看成動能公式

③可以看成熱量公式

又如“1”這個數字，它可以根據具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。“1”可以變換為：，等等。

1．   思維訓練實例

例1  已知求證：

分析1  用比較法。本題只要證為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。

證法1 

所以   

分析2  運用分析法，從所需證明的不等式出發，運用已知的條件、定理和性質等，得出正確的結論。從而證明原結論正確。分析法其本質就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規范。

證法2  要證     

       只需證   

即       

因為      

所以只需證  

即          

因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

分析3  運用綜合法（綜合運用不等式的有關性質以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）

證法3 

即   

分析4  三角換元法：由于已知條件為兩數平方和等于1的形式，符合三角函數同角關系中的平方關系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數運算關系轉化為三角函數運算關系，給證明帶來方便。

證法4  可設

分析5  數形結合法：由于條件可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而聯系到點到直線距離公式，可得下面證法。

證法5  （如圖4-2-1）因為直線經過

圓的圓心O，所以圓上任意一點

到直線的距離都小于或等于圓半徑1，

即     

簡評  五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。可在具體應用過程中，根據題目的變化的需要適當進行選擇。

例2  如果求證：成等差數列。

分析1  要證，必須有成立才行。此條件應從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉換。

證法1 

故    ，即    成等差數列。

分析2  由于已知條件具有輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉換運算帶來便利。

證法2  設則

于是，已知條件可化為：

所以成等差數列。

分析3  已知條件呈現二次方程判別式的結構特點引人注目，提供了構造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機會。

證法3  當時，由已知條件知即成等差數列。

當時，關于的一元二次方程：

其判別式故方程有等根，顯然＝1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，

由韋達定理知     即  成等差數列。

簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發。

例3      已知，求的最小值。

分析1  雖然所求函數的結構式具有兩個字母，但已知條件恰有的關系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉換為普通的二次函數求最值問題。

解法1 

設，則

二次項系數為故有最小值。

當時，

    的最小值為

分析2  已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關聯，于是所求的最小值可由等式轉換成不等式而求得。

解法2  即

即  當且僅當時取等號。  的最小值為

分析3  配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結合所求式子，配方后得兩個實數平方和的形式，從而達到求最值的目的。

解法3  設

  當時，即的最小值為

分析4  因為已知條件和所求函數式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發。

解法4  如圖4－2－2，表示直線

表示原點到直線上的點的距離的平方。

顯然其中以原點到直線的距離最短。

此時，即

所以的最小值為

注  如果設則問題還可轉化為直線與圓有交點時，半徑的最小值。

簡評  幾種解法都有特點和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設條件的特點，與相關知識聯系起來，所以具有靈巧簡捷的優點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。

例4      設求證：

分析1  由已知條件為實數這一特點，可提供設實系數二次方程的可能，在該二次方程有兩個虛根的條件下，它們是一對共軛虛根，運用韋達定理可以探求證題途徑。

證法1  設當時，可得與條件不合。

于是有 

該方程有一對共軛虛根，設為，于是

又由韋達定理知

分析2  由于實數的共軛復數仍然是這個實數，利用這一關系可以建立復數方程，注意到這一重要性質，即可求出的值。

證法2  設當時，可得與條件不合，

則有  ，

即 

但 

而  即

分析3  因為實數的倒數仍為實數，若對原式取倒數，可變換化簡為易于進行運算的形式。再運用共軛復數的性質，建立復數方程，具有更加簡捷的特點。

證法3  即

從而必有

簡評  設出復數的代數形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復數問題的基本方法。但這些方法通常運算量大，較繁。現在的三種證法都應用復數的性質去證，技巧性較強，思路都建立在方程的觀點上，這是需要體會的關鍵之處。證法3利用倒數的變換，十分巧妙是最好的方法。

例5  由圓外一點引圓的割線交圓于兩點，求弦的中點的軌跡方程。

分析1  （直接法）根據題設條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉化為代數等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。

解法1  如圖4－2－3，設弦的中點的坐標為，連接，

則，在中，由兩點間的距離公式和勾股定理有

整理，得  其中

分析2  （定義法）根據題設條件，判斷并確定軌跡的

曲線類型，運用待定系數法求出曲線方程。

解法2  因為是的中點，所以，

所以點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：

化簡，得  其中

分析3  （交軌法）將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點可看作直線與割線的交點，而由于它們的垂直關系，從而獲得解法。

解法3  設過點的割線的斜率為則過點的割線方程為：.

且過原點，的方程為 這兩條直線的交點就是點的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中

分析4  （參數法）將動點坐標表示成某一中間變量（參數）的函數，再設法消去參數。由于動點隨直線的斜率變化而發生變化，所以動點的坐標是直線斜率的函數，從而可得如下解法。

解法4  設過點的割線方程為：

它與圓的兩個交點為，的中點為.

解方程組 

利用韋達定理和中點坐標公式，可求得點的軌跡方程為：

其中

分析5  （代點法）根據曲線和方程的對應關系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點的坐標與兩交點通過中點公式聯系起來，又點構成4點共線的和諧關系，根據它們的斜率相等，可求得軌跡方程。

解法5  設則

兩式相減，整理，得 

所以 

即為的斜率，而對斜率又可表示為

化簡并整理，得  其中

簡評  上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點且與二次曲線交于兩點，求中點的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計算量要小，要簡捷得多。