南海中學2008屆高三立刻數學綜合訓練（八）
荊州中學、宜昌一中2008屆高三年級十月聯考數學試卷
一。選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．在由正數組成的等比數列
中，
，則
（ ）
A．6
B．
2．如果復數
的實部與虛部互為相反數，則
的值等于
（ ）
A．0
B．
3．已知函數
在點
處連續，則
（ ）
A．11
B．
C．3
D．
4．已知函數
滿足
，且
時，
，則
與
的圖像的交點的個數為
（ ）
A．1
B．
5．“
”是“函數
在區間
上為增函數”的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．函數
的圖像是中心對稱圖形，其對稱中心的坐標是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知等比數列中，
，公比為
，且該數列各項的和為
，
表示該數列的前
項和，且
，則實數的取值范圍是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函數
在R上可導且滿足
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．設函數的定義域為
,若函數滿足: (1)在內單調遞增,(2)方程
在內有兩個不等的實根,則稱為遞增閉函數.若
是遞增閉函數,則實數
的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D
10．已知集合
，若集合
，則實數的取值范圍是
A．
B．
C．
D． 
二．填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上）
11．函數
的反函數
的圖像與
軸交于點
，則方程
在
上的根是
12．數列
是等差數列，
，其中
，則通項公式
13．已知函數
在
單調遞增，且對任意實數
恒有
，若
，則的取值范圍是
14．若
表示
的各位上的數字之和，如
，所以
，記
，則
15．函數
，且滿足
，若
，則集合
中最小的元素是
三．解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本題滿分12分）已知：命題
是
的反函數，且
；
命題
集合
，且
，試求實數
的取值范圍使得命題
有且只有一個真命題
17．（本題滿分12分）已知函數
同時滿足：1不等式
的解集有且只有一個元素；2在定義域內存在
，使得不等式
成立．設數列的前
項和為
（1）求數列的通項公式；
（2）設各項均不為零的數列
中，所有滿足
的正整數
的個數稱為這個數列的變號數，令
（為正整數），求數列的變號數
18．（本題滿分12分）函數是定義域為
的奇函數，且對任意的
，都有
成立，當
時，
.
（1）當
時，求函數的解析式;
（2）求不等式
的解集.
19．（本題滿分12分）某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率
與日產量（萬件）之間大體滿足關系：
（其中
為小于6的正常數）
（注：次品率=次品數/生產量，如
表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）
已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量.
（1）試將生產這種儀器的元件每天的盈利額
（萬元）表示為日產量（萬件）的函數
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？
20．（本題滿分13分）已知正項數列中，
，點
在拋物線
上；數列
中，點
在過點
，以
為方向向量的直線
上．
（1）求數列，的通項公式；
（2）若
，問是否存在
，使
成立，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
（3）證明不等式：
，
，……
21．（本題滿分14分）已知函數
（為常數且
）
（1）當
時，求的單調區間
（2）若在
處取得極值，且
，而
在
上恒成立，求實數的取值范圍（其中
為自然對數的底數）
一．選擇題
1~10 BADDA BCBCD
二．填空題
11．2
12．
13．
14．8 15．45
三．解答題
16．解：因為
，所以
………………………………（1分）
由
得
，解得
………………………………（3分）
因為
，故集合
應分為
和
兩種情況
（1）時，
…………………………………（6分）
（2）時，
……………………………………（8分）
所以得
…………………………………………………（9分）
若
真假，則
…………………………………………………………（10分）
若假真，則
……………………………………………………………（11分）
故實數的取值范圍為或………………………………………（12分）
17．解：（1）由1
的解集有且只有一個元素知
或 ………………………………………（2分）
當
時，函數在
上遞增，此時不滿足條件2
綜上可知
…………………………………………（3分）
……………………………………（6分）
（2）由條件可知
……………………………………（7分）
當
時，令
或
所以
或
……………………………………………………………（9分）
又
時，也有
……………………………（11分）
綜上可得數列
的變號數為3……………………………………………（12分）
18．解：（1）當
時，
………………………（1分）
當
時，
……………………（2分）
由
，知又是周期為4的函數，所以
當
時
…………………………（4分）
當
時
…………………………（6分）
故當
時，函數的解析式為
………………………………（7分）
（2）當
時，由
，得
或
或
解上述兩個不等式組得
…………………………………………（10分）
故
的解集為
…………………（12分）
19．解：（1）當
時，
，
……………………（2分）
當
時，
，
綜上，日盈利額
（萬元）與日產量
（萬件）的函數關系為：
…………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，當時，每天的盈利額為0……………………………（6分）
當時，
當且僅當
時取等號
所以
當
時，
，此時……………………………（8分）
當
時，由
知
函數在
上遞增，
，此時
……（10分）
綜上，若，則當日產量為3萬件時，可獲得最大利潤
若，則當日產量為
萬件時，可獲得最大利潤…………（12分）
20．解：（1）將點
代入
得
因為直線
，所以
……………………………………（3分）
（2）
，
當為偶數時，
為奇數，
……………（5分）
當為奇數時，為偶數，
（舍去）
綜上，存在唯一的
符合條件…………………………………………………（7分）
（3）證明不等式
即證明
成立，下面用數學歸納法證明
1當
時，不等式左邊=
，原不等式顯然成立………………………（8分）
2假設
時，原不等式成立，即
當
時
=
，即時，原不等式也成立 ………………（11分）
根據12所得，原不等式對一切自然數都成立 ……………………………（13分）
21．解：（1）由
得
……………………（1分）
又的定義域為
，所以
當
時，
當
時，
，為減函數
當
時，
，為增函數………………………（5分）
所以當時，的單調遞增區間為
單調遞減區間為
…………………（6分）
（2）由（1）知當
時，
，遞增無極值………（7分）
所以在
處有極值，故且
因為
且
，所以在
上單調
當為增區間時，
恒成立，則有
………………………………………（9分）
當為減區間時，恒成立，則有
無解 ……………………（13分）
由上討論得實數的取值范圍為
…………………………（14分）
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