汕頭市2007－2008年度12月份四校聯考模擬最新試題
數學試題
考生注意：
本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時間150分鐘。考試結束后將第Ⅱ卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。不能答在試卷上。
一、選擇題：本大題共12小題；每小題5分，共計60分。在每小題列出的四個選項只有一項是最符合題目要求的。
1．復數的虛部是 （ ）
2．已知集合，R是實數集，則（ B）∩A=
（ ）
A．[0，1] B． C． D．以上都不對
3．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A、B兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析方法分
別求得相關系數r與殘差平方和m如下表： （ ）
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
則哪位同學的試驗結果體現A、B兩變量有更強的線性相關性？
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知條件p:x≤1，條件，q：<1，則p是q的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．即非充分也非必要條件
5．若函數f(x)=sinax+cosax(a>0)的最小正周期為1，則它的圖像的一個對稱中心為 （ ）
A．（－，0） B．（0，0） C．（－，0） D．（，0）
6．若的展開式各項系數和為64，則展開式中的常數項為 （ ）
A．－540 B．－162 C．162 D．540
7．曲線與坐標軸所圍成的圖形的面積是 （ ）
A．2 B．3 C． D．4
A．≥9 B．≥10
C．≤10 D．≤9
9．已知函數f(x)=2x的反函數f－1(x)滿足
f－1(a)+ f－1(b)=4，則的最小值為（ ）
A．1 B．
C． D．
10．過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交
于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣
的直線 （ ）
A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條
C．有無窮多條 D．不存在
11．設偶函數f(x)=loga|ax+b|在（0，+∞）上單調遞增，則f(b－2)與f(a+1)的大小關系是（ ）
A．f(b－2)=f(a+1) B．f(b－2)>f(a+1) C．f(b－2)<f(a+1) D．不能確定
頂點在底面上的射影是底面的中心的棱錐為正棱錐）
M、N分別是棱SC，BC的中點，且MN⊥AM，若
側棱SA=2，則此正三棱錐S―ABC外接球的
表面積是（ ）
A．45π B．32π C．12π D．36π
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項：
1．第Ⅱ卷用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中（除題目有特殊規定外）。
2．答卷前將密封線內項目填寫清楚。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
13．已知的最小值為－6，則常數k= .
14．觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，則可得出一般結論： .
15．下圖是一個物體的三視圖，根據圖中尺寸（單位：cm），它的體積為 cm3.
16．已知兩個點M（－5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|－|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”，給出下列直線：①y=x+1，②y=x, ③y=2，④y=2x+1，其中為“B型直線”的是 .（填上所有正確結論的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共計74分.解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟.
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設的最大值是5，求k的值.
18．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）求證：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1―BD―C的余弦值；
（Ⅲ）在側棱AA1上是否存在點P，使得
CP⊥面BDC1？并證明你的結論.
19．（本小題滿分12分）
有A，B，C，D四個城市，它們都有一個著名的旅游點，依此記為a，b，c，d.把ABCD和a，b，c，d分別寫成左、右兩列，現在一名旅游愛好者隨機用4條線把左右兩邊的字母全部連接起來，構成“一一對應”，已知每連對一個得2分，連錯得0分；
（Ⅰ）求該愛好者得分的分布列；
（Ⅱ）求該愛好者得分的數期望.
20．（本小題滿分12分）
已知定義在R上的單調函數y=f(x)，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，
（Ⅰ）求f(0)，并寫出適合條件的函數f(x)的一個解析式；
（Ⅱ）數列{an}滿足,
①求通項公式an的表達式；
②令，
試比較Sn與Tn的大小，并加以證明.
21．（本小題滿分12分）
已知動圓P與定圓B：內切，且動圓P經過一定點A（，
0），
（Ⅰ）求動圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）若已知點D（0，3），M、N在動點P的軌跡上，且，求實數的取
值范圍.
22．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1處取得極值.
（Ⅰ）求函數f(x)的解析式；
（Ⅱ）求證：對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍.
一、選擇題（每小題5分，共12小題）
BADAC ABBCB CD
二、填空題（每小題4分，共4小題）
13．0
14．n+(n+1)+…+(3n－2)=(2n－1)2
15．256+64π
16．①③
三、解答題
（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB=.…………………………………………………………………5分
∵0<B<π，∴B=.…………………………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分
設sinA=t，則t∈.
則=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………10分
∵k>1，∴t=1時，取最大值.
依題意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分
（18）（I）證明：
連接B1C，與BC1相交于O，連接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中點.
又D是AC的中點，
∴OD//AB1.………………………………………………2分
∵AB1面BDC1，OD面BDC1，
∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空間直角坐標系，則
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量.
.…………………………8分
∴二面角C1―BD―C的余弦值為.………………………………9分
（III）假設側棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.
則
∴方程組無解.
∴假設不成立.……………………………………………………11分
∴側棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1.…………………12分
19．（I）解：設答對題的個數為y，得分為ξ,y=0，1，2，4
∴ξ=0，2，4，8…………………………………………………………1分
……………………………………………………3分
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………………………9分
則ξ的分布列為
ξ
0
2
4
8
P
（II）Eξ=0×+2×+4×+8×=2
答：該人得分的期望為2分………………………………12分
20．解：
（I）由題意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0時，f(x)>1.
∴1－f(0)=0. f(0)=1.…………………………………………………………2分
適合題意的f(x)的一個解析式為f(x)=()x.………………………………4分
（II）①由遞推關系知f(an+1)?f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).
∵f(x)的R上單調，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………………………6分
又a1=1，故an=2n－1.……………………………………………………7分
②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1
欲比較Sn與的大小，只需比較4n與2n+1的大小.
由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.……………………10分
下用數學歸納法證明
（i）當n=1時，41>2×1+1成立
（ii）假設當n=k時命題成立，即4k>2k+1
當n=k+1時，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，
說明當n=k+1時命題也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1 對于n∈N*都成立.
故Sn>.………………………………………………………………12分
注：證明4n>2n+1，除用數學歸納法證明以外，還可用其它方法證明，
如：4n=(1+3)n=1+
21．解：（I）定圓B的圓心坐標B（－，0），半徑r=6，
因為動圓P與定圓B內切，所以|PA|+|PB|=6.
所以動圓圓心P的軌跡是以B、A為焦點，長軸長為6的橢圓.
設橢圓的方程為
則2a=6，a=3，c=
∴b2=a2－c2=4.
∴橢圓的方程為.……………………4分
（II）設M(x1，y1)，N（x2，y2），
則由
（1）當λ=1時，M與N重合，，滿足條件。
（2）當.
綜合可得λ的取值范圍是[，5].………………………………12分
22．解：
（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，
即…………………………………………2分
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
當－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區間[－1，1]上為減函數，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分
∵對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲線方程為y=x3－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.
設切點為M（x0，y0），則點M的坐標滿足
因，故切線的斜率為
，
整理得.
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，
∴關于x0方程=0有三個實根.……………………10分
設g(x0)= ，則g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減.
∴函數g(x0)= 的極值點為x0=0，x0=1………………12分
∴關于x0方程=0有三個實根的充要條件是
，解得－3<m<－2.
故所求的實數a的取值范圍是－3<m<－2.……………………14分
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