北京先知文化中心2009屆高三模擬測試（二）
數學文科試題
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．某大學有學生1500人，其中漢族學生1200人，回族學生250人，藏族學生50人，學校食堂為了解學生的就餐情況，現抽取容量是150的樣本，則抽取回族學生人數是（ ）
A．15 B．25 C． 35 D． 45
3．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
4．設向量，，若∥，則（ ）
A．-1 B．1 C． 4 D． 6
5．已知正項等差數列的前6項和為9，成等比數列，則數列的公差為（ ）
A． B． C．或 D． 或
6．若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則此雙曲線的漸近線方程是( )
A. y=x+3 B. y=x-5 C. y=x D.
7.設、為正實數，則下列不等式恒成立的是( )
①；②；③；④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設是展開式的中間項，若在區間上恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．函數的最小正周期是( )
A. B. C. D.
10．用平面截半徑為的球，若截面圓的內接正三角形的邊長亦為，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11.設是函數的反函數，則與的大小關系為（ ）
A． B.
C． D
12．直線，將圓面分成若干塊，現用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13． “”是“表示直線右側區域”的 條件。
14．已知數列的前項和比集合的子集個數少１，則數列通項公式是 。
15.如圖，正四面體中，是底面上的高，為的中點，則與所成角的余弦值為 。
16,已知點為的準線與軸的交點,點為焦點，點為拋物線上兩個點，若，則向量與的夾角為 。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．
17.(本小題滿分10分)
已知的內角的對邊分別為，其中，，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業證，求學生甲不能拿到高中畢業證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；
19．（本小題滿分12分）
已知數列的前項和為，且，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）設，求數列的前項和。
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，∥，，，點、分別在棱、上，且平面，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大小；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
已知拋物線與橢圓都經過點，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點。
（Ⅰ）求拋物線與橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。
22．(本小題滿分12分)
已知函數的導函數是偶函數，
（Ⅰ）若，求函數的極值；
（Ⅱ）設函數在點處的切線斜率為，若在區間上為增函數，求的取值范圍。
1．解析：，故選A。
2．解析：抽取回族學生人數是，故選B。
3．解析：由，得，此時，所以，，故選C。
4．解析：∵∥，∴，∴，故選C。
5．解析：設公差為，由題意得，；，解得或，故選C。
6．解析：∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，∴，又∵，∴，∴雙曲線的漸近線方程是,故選D.
7.解析：∵、為正實數，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因為函數在是增函數，∴，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵，∴在區間上恒成立，即在區間上恒成立，∴，故選D。
9．解析：∵
，∴此函數的最小正周期是，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形的邊長為，∴，∴，又∵，∴，故選D。
11．解析：∵在區間上是增函數且，∴其反函數在區間上是增函數，∴，故選A
12．解析：如圖，①當或時，圓面被分成2塊，涂色方法有20種；②當或時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是，故選A。
13．解析：將代入結果為，∴時，表示直線右側區域，反之，若表示直線右側區域，則，∴是充分不必要條件。
14.解析：∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，。
15．解析：設正四面體的棱長為，連，取的中點，連，∵為的中點，∴∥，∴或其補角為與所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴與所成角的余弦值為。
16．解析：∵，∴，∵點為的準線與軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中為點到準線的距離，四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量與的夾角為。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為，∴學生甲被評為三好學生的概率為。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，
，，………………………3分
（Ⅱ）∵，∴，
∴，
又，∴數列自第2項起是公比為的等比數列，………………………6分
∴，………………………8分
（Ⅲ）∵，∴，………………………10分
∴。………………………12分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴為二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）過點做∥，交于點，∵平面，∴為在平面內的射影，∴為與平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，，∴點的坐標分別是，，，∴，，設，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分
（Ⅱ）設二面角的大小為，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
21.解析：（Ⅰ）設拋物線方程為，將代入方程得
所以拋物線方程為。………………………2分
由題意知橢圓的焦點為、。
設橢圓的方程為，
∵過點，∴，解得，，，
∴橢圓的方程為。………………………5分
（Ⅱ）設的中點為，的方程為：，
以為直徑的圓交于兩點，中點為。
設，則
∵
………………………8分
∴
………………………10分
當時，，，
此時，直線的方程為。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵是偶函數，∴，
又∵∴，，………………………2分
由得，，
∵時，；時，；時，；∴時，函數取得極大值，時，函數取得極小值。………………………5分
（Ⅱ）∵在區間上為增函數，∴在上恒成立，∴
且在區間上恒成立，………………………7分
∴
∴……………………9分
又∵=，∵
∴，∴的取值范圍是。………………………12分
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