2009屆先知模擬卷
數學試題(二)
（試卷總分150分
考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．（理）設
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D．
（文）某大學有學生1500人，其中漢族學生1200人，回族學生250人，藏族學生50人，學校食堂為了解學生的就餐情況，現抽取容量是150的樣本，則抽取回族學生人數是（ ）
A．15
B．
3．已知集合
，集合
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．(理)已知向量
，
，則
與
共線是
與
共線的（ ）
A． 充分不必要條件
B． 必要不充分條件
C．充要條件D． 既不充分也不必要條件
（文）設向量
，
，若∥，則
（ ）
A．-1
B．
5．已知正項等差數列
的前6項和為9，
成等比數列，則數列的公差為（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．（理）若雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，則此雙曲線的離心率是( )
A. B.
C. 
D.
（文）若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則此雙曲線的漸近線方程是( )
A. y=x+3
B. y=x
7.設
、
為正實數，則下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②③
8．設
是
展開式的中間項，若
在區間
上恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．
（理）函數
的最小值是( )
A.
B.
C. 
D.
（文）函數的最小正周期是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半徑為
的球
，若截面圓的內接正三角形
的邊長亦為，則三棱錐
的體積為（ ）
A．
B．
C．
D．
11.設
是函數
的反函數，則
與
的大小關系為（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直線
，
將圓面
分成若干塊，現用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13．（理）若實數
滿足
，則
的最大值為
。
(文)“
”是“
表示直線
右側區域”的
條件。
14．（理）已知數列的前
項和
比集合
的子集個數少１，則
。
（文）已知數列的前項和比集合的子集個數少１，則數列通項公式是
。
15.如圖，正四面體
中，
是底面上的高，
為
的中點，則與
所成角的余弦值為
。
16,已知點
為
的準線與
軸的交點,點
為焦點，點
為拋物線上兩個點，若
，則向量
與
的夾角為
。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．
17.(本小題滿分10分)
已知
的內角
的對邊分別為
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為
，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為
，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業證，求學生甲不能拿到高中畢業證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；
（Ⅳ）（理做文不做）設
為學生甲會考不合格科目數，求的分布列及的數學期望
。
19．（本小題滿分12分）
(理)已知函數
（為常數）．
（Ⅰ）當
時，求的極值；
（Ⅱ）若在定義域上是增函數，求實數的取值范圍.
（文）已知數列的前項和為，且
，
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式
；
（Ⅲ）設
，求數列
的前項和
。
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐
的底面
為直角梯形，
底面，
∥
，
，
，點
、
分別在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大小；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
（理）已知雙曲線：的離心率為
，過右焦點做漸近線
：
的平行線
交雙曲線與點，若
，
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線
與雙曲線
恒有兩個不同的交點
和
，且
其中為原點，求
的范圍。
（文）已知拋物線
與橢圓都經過點
，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點。
（Ⅰ）求拋物線與橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線過點
，交拋物線于
兩點，是否存在垂直于軸的直線
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。
22．(本小題滿分12分)
（理）為數列的前項和且滿足
，若，
則
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列的前項和；
（Ⅲ）設
，求證：
。
（文）已知函數
的導函數是偶函數，
（Ⅰ）若
，求函數的極值；
（Ⅱ）設函數在點
處的切線斜率為，若在區間
上為增函數，求的取值范圍。
1．解析：
，故選A。
2．（理）解析：∵
，
故選B。
（文）解析：抽取回族學生人數是
，故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．（理）解析：顯然，若
與
共線，則
與
共線；若與共線，則
，即
，得
，∴與共線，∴與共線是與共線的充要條件，故選C。
（文）解析：∵∥，∴
，∴
，故選C。
5．解析：設公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：（理）∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴
，∴雙曲線的離心率是
。故選B.
（文）∵雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵，∴
，∴雙曲線的漸近線方程是
,故選D.
7.解析：∵
、
為正實數，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數
在
是增函數，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區間
上恒成立，即
在區間上恒成立，∴
，故選D。
9．（理）解析：∵
，此函數的最小值為
，故選C。
（文）解析：∵
，∴此函數的最小正周期是
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區間
上是增函數且
，∴其反函數
在區間上
是增函數，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．（理）解析：做出
表示的平面區域如圖，當直線
經過點
時，
取得最大值5。
（文）解析：將
代入
結果為
，∴
時，
表示直線
右側區域，反之，若表示直線右側區域，則
，∴是充分不必要條件。
14.解析：（理）∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
，
∴
。
（文）∵，∴時，，又時，滿足上式，因此，。
15．解析：設正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學生甲被評為三好學生的概率為
。……………………12分
（理）∵
，
，
，
。……………………9分
∴
的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的數學期望
。……………………12分
19．(12分)（理）解析：（Ⅰ）
時，
，
，
由
得，
或
………3分
+
0
－
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
，
………………………6分
（Ⅱ）
在定義域
上是增函數，
對
恒成立，即
………………………9分
又
（當且僅當
時，
）
………………………4分
（文）解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
，
，………………………3分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴
，
又
，∴數列
自第2項起是公比為
的等比數列，………………………6分
∴
，………………………8分
（Ⅲ）∵
，∴
，………………………10分
∴
。………………………12分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
。………………………8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為
同步練習冊答案
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