重慶市萬州區2009屆高三第一次診斷性
數 學(理科)
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷共三個大題，22個小題，滿分150分，考試時間為120分鐘.
注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考號填寫在答題卷上.
2．第I卷每小題選出答案后，用筆填寫在答題卷上“第I卷答題欄”對應題目的答案欄內.不能答在試題紙上.
3．第II卷各題一定要做在答題卷限定的區域內.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么P(A?B)＝P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
第I卷（選擇題，共50分）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把所選答案的番號填在答題卷的相應位置上.
1. 已知
，那么角
是（ ）
（Ａ）第一或第二象限角 （Ｂ）第二或第三象限角
（Ｃ）第三或第四象限角 （Ｄ）第一或第四象限角
2. “a = 
與直線
平行”的（ ）條件
（A）充要 （B）必要而不充分
（C）充分而不必要 （D）既不充分也不必要
3.
已知集合
Z}，則
=（ ）
（A）{－1，1} （B）{0}
（C）{－1，0} （D）{－1，1，0}
4.
在等比數列
中，
、
、
成等差數列，則公比
等于（ ）
（A）1或2
（B）
或
（C）1或
（D）或2
5．
如圖，在長方體ABCD-A1B
（A）
（B）
（C）
（D）
6.已知
是
所在平面內一點，
為
邊中點，且
，則（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（D）
7. 一圓形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6個座位.現讓3個大人和3個小孩入座進餐，要求任何兩個小孩都不能坐在一起，則不同的入座方法總數為（ ）
（A）24種 （B）48種 （C）72種 （D）144種
8. 若函數
則對任意的
，且
，有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9. 函數
的圖象恒過點A，若點A在直線
上，其中m
的最小值為（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
10．定義
，設實數
滿足約束條件
，若定義
，則
的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）把答案填在答題卷的相應位置上.
11. 函數
的反函數的定義域為 .
12.已知直線l1：
，l2過點P（? 3，1），且l 1到l 2的角為45
，則l2的方程為_______.
13.若
, 則
______________.(用數字作答)
14. 在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖
為基礎設計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個
大正方形（如圖）. 如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，
直角三角形中較小的銳角為，那么sin2的值等于 .
15. 設O是坐標原點，F是拋物線
的焦點，A是拋物線上的一點，
與x軸正向的夾角為60°，則
為
.
16. 若
是以2為周期的偶函數，當
時，
，在區間
內關于
的方程
（
且
）有4個不同的根，則
的取值范圍是 .三、解答題（本大題共6小題，共76分）把解答題答在答題卷限定的區域內.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（本題滿分13分）
已知集合A＝
，
.
（Ⅰ） 當a＝2時，求A
B；
（Ⅱ） 求使B
A的實數a的取值范圍.
18.（本題滿分13分）
已知向量
（Ⅰ）當
時，求函數
的值域；
（Ⅱ）若
的值.
19.（本題滿分13分）
已知定義在正實數集上的函數
，
，其中
. 設兩曲線
，
有公共點，且在該點處的切線相同.
（I）用
表示
；
（II）求證：
（
）.
20.（本題滿分13分）
2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數量
1
1
1
2
3
從中隨機地選取5只.
（I）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；
（II）若完整地選取奧運會吉祥物記10分；若選出的5只中僅差一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設ξ表示所得的分數，求ξ的分布列及數學期望.
21.（本題滿分12分）
已知函數
.
(Ⅰ) 求f ?1(x)；
(Ⅱ) 若數列{an}的首項為a1=1，
(nÎN+)，求{an}的通項公式an；
(Ⅲ) 設bn=an+12+an+22+¼+a2n+12，是否存在最小的正整數k，使對于任意nÎN+有bn<
成立. 若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
22. (本題滿分12分)
已知點A（-2，0），B（2，0），動點P滿足：
，且
.
（I）求動點P的軌跡G的方程；
（II）過點B的直線
與軌跡G交于兩點M，N.試問在x軸上是否存在定點C ,使得
為常數.若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.
高2009級第一次診斷性考試數學(理科)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1～
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
11. 
； 12 . 
； 13. 31；
14. 
； 15. 
；
16.
-
，0
.
三、解答題（本大題共6小題，共76分）
17.（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）當a＝2時，A＝
，
…………………………2分
B＝
…………………………4分
∴ A
B＝
…………………………6分
（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－
)2＋
>0，即a2＋1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①當時A=Φ，不存在a使B
A ……………………8分
②當時A={x|2<x<
由BA得：
2≤a≤3
…………………10分
③當時A={x|
由BA得
－1≤a≤－
…………………12分
綜上，a的范圍為：[－1,－]∪[2,3] …………………13分
18．（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由
………4分
∵
∴
的值域為[－1，2]
……………………7分
（Ⅱ）∵
∴
∴
………………10分
∴
………………13分
19. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）
，
，
……………………2分
設
與
在公共點
處的切線相同
由題意
，
即 
……………………4分
由
得：
，或
（舍去）
即有
……………………6分
（Ⅱ）設
，……………………7分
則
……………………9分
x
時<0，x
>0
∴
在
為減函數，在
為增函數，
……………………11分
于是函數在
上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0 ……………………12分
故當
時，有
，
所以，當時，
……………………13分
20. （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率
………………5分
（Ⅱ）
…………………6分
…………10分
ξ的分布列為：
ξ
10
8
6
4
P
…………13分
21．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵
， ∴ 
…………………………1分
由y=
解得：
…………………………2分
∴
………………………3分
（Ⅱ）由題意得：
…………………………4分
∴
∴{
}是以
=1為首項，以4為公差的等差數列. …………………………6分
∴
，∴
.
………………………7分
（Ⅲ）∴
………8分
則
∴
∴
，∴ {bn}是一單調遞減數列. ………………………10分
∴
，要使
，則
，∴
又kÎN* ，∴k³8 ，∴kmin=8
即存在最小的正整數k=8，使得
……………………12分
22.（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得：
……1分
即16＝
＝
＝
所以
，
即
……………………………………………4分
（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）
所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為
的雙曲線
所以，軌跡G的方程為
…………………………………………6分
（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使
為常數.
①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為
…………………………………………7分
由題意知，
設
，則
，
…………………8分
于是
∴
＝
………………9分
＝
要是使得 為常數，當且僅當
，此時
………………11分
②當直線l與x軸垂直時，
,當時.
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數. …………………………12分
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