2009年深圳市高三年級第一次調研考試
數學 (理科) 2009．3
本試卷共6頁，包括六個部分21小題，滿分1 5 0分。考試用時l 5 0分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生信息條形碼
是否正確；之后務必用0．5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的
學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的
貼條形碼區。請保持條形碼整潔、不污損。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需
改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。不按要求填涂
的答案無效。
3．非選擇題必須用0．5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指
定區域內相應位置上。請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉
原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答
的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。漏涂、
錯涂、多涂的答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將答題卡交回。
參考公式：
如果事件A、 B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相：互獨立，那么P(AB)=P(A)P(B)；
橢圓
的準線方程為
，其中
；
若球的半徑為R，則球的表面積為S=4πR 2，體積為V
．
一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1．如果復數(2+ai)i(a∈R)的實部與虛部是互為相反數，則a的值等于
A．-l B．
2009年深圳市高三年級第一次調研考試
數學(理科)答案及評分標準
說明：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
D
C
A
B
B
A
二、填空題：本大題每小題5分(第12題前空2分，后空3分)，滿分30分．
9．
．
10．
．
11． 
．
12． 
； ．
13．
．
14．
．
15．
．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函數
．
學科網
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）設
，求的值域和單調遞增區間．學科
網【解】（Ⅰ）∵學科網
.
…………………… 3分
的最小正周期為
．
………………… 5分
（Ⅱ）∵， 
， 
．
的值域為
．
……………… 10分
當
遞減時，遞增．
，即
．
故的遞增區間為
．
……………………12分
17．（本小題滿分12分）
如圖，
為圓
的直徑，點
、
在圓上，
，矩形
和圓所在的平面互相垂直．已知
,
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
(Ⅲ)當
的長為何值時，二面角
的大小為
？
【解】（Ⅰ）證明：平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面．
平面，
，
又
為圓的直徑，
，
平面．
平面
，
平面平面．
………………………4分
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的證明，有
平面，
為在
平面上的射影，
因此，
為直線與平面所成的角．
………………………5分
，四邊形為等腰梯形，
過點作
，交于
．
,，則
．
在
中，根據射影定理
，得
． ………………………7分
，
．
直線與平面所成角的大小為
．
………………………8分
(Ⅲ)（解法一）過點
作
，交
的延長線于點
，連
．
根據（Ⅰ）的證明，
平面，則
，
為二面角的平面角，
．
…………………9分
在
中，
，,
．
………………… 10分
又四邊形
為矩形， 
．
．
因此，當的長為
時，二面角的大小為．
…………………12分
（解法二）設中點為
，以為坐標原點，
、
、方向
分別為
軸、
軸、
軸方向建立空間直角坐標系（如圖）
設
，則點
的坐標為
在中，，,．
點的坐標為
，點的坐標為
,
，
設平面
的法向量為
，則
,
．
即
令
，解得
…………………10分
取平面
的一個法向量為
，依題意
與
的夾角為
，即
， 解得
（負值舍去）
因此，當的長為時，二面角的大小為．
…………………12分
18．（本小題滿分14分）
甲乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，
負者得
分，比賽進行到有一人比對方多
分或打滿
局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為
，
且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽
停止的概率為
．
若右圖為統計這次比賽的局數
和甲、乙的總得
分數
、
的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入
，
；如果乙獲勝，則輸入
．
寫什么條件？
（Ⅰ）在右圖中，第一、第二兩個判斷框應分別填
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）設
表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量
的分布列和數學期望
．
注：“
”，即為“
”或為“
”．
【解】（Ⅰ）程序框圖中的第一個條件框應填
，第二個應填
． ………………… 4分
注意：答案不唯一．
如：第一個條件框填
，第二個條件框填
，或者第一、第二條件互換．都可以．
（Ⅱ）依題意，當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結束時比賽結束．
有
．
解得
或
．
…………………………………6分
， 
．
………………………… 7分
（Ⅲ）（解法一）依題意知，的所有可能值為2，4，6．
………………………… 8分
設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．
若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．
從而有
，
，
．
隨機變量的分布列為：
…………………………… 12分
故
．
…………………………… 14分
（解法二）依題意知，的所有可能值為2，4，6．
………………… 8分
令
表示甲在第
局比賽中獲勝，則
表示乙在第局比賽中獲勝．
由獨立性與互不相容性得
，
，
．
………………… 12分
隨機變量的分布列為：
故．
………………… 14分
19．（本題滿分14分）
已知函數
（
，
）．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若不等式
對一切正整數恒成立，求實數
的取值范圍．
【解】（Ⅰ）
………………… 2分
，
由
，得
．
，
，
．
又
．
函數的單調遞增區間為
,遞減區間為
． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即為
．……………（※）
令
，當
時，．
則不等式（※）即為
．
…………………9分
令
，
，
在的表達式中，當
時，
，
又時，
，
在
單調遞增，在
單調遞減．
在
時，取得最大，最大值為
．
…………………12分
因此，對一切正整數，當
時，
取得最大值
．
實數的取值范圍是
．
………………………… 14分
【法二】不等式，即為．………………（※）
設
，
，
令
，得
或
．
………………………… 10分
當
時，
，當
時，
．
當時，取得最大值．
因此，實數的取值范圍是．
………………………… 14分
20．（本題滿分14分）
在四邊形
中，已知
，點
在軸上， 
，且對角線
．
（Ⅰ) 求點
的軌跡的方程；
(Ⅱ)若點是直線
上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線
、
，、
為切點，為的中點．求證：
軸或與軸重合；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．
【解】（Ⅰ)如圖，設點的坐標為
，
則
，
，
，即
．
∴所求的軌跡是除去頂點的拋物線
……………… 3分
（解法一）(Ⅱ)對函數
求導得，
．
設切點坐標為
，則過該切點的切線的斜率是
，該切線方程是
．
又設點的坐標為
，
切線過點，有
，
化簡，得
．
…………………………6分
設、兩點的坐標分別為
、
，則
、
為方程
的兩根，
．
因此，當
時，直線與軸重合，當
時，直線與軸平行 …………9分
(Ⅲ) 
．
點的坐標為
．
又
．
直線的方程為：
，即
．………（
）
當
時，方程（）恒成立，
對任意實數
，直線恒過定點，定點坐標為
． …………………………14分
（解法二）(Ⅱ)設點的坐標為，利用切點弦直線方程的結論可得出直線的方程為
，即
…………………………7分
由
得.
．
.
因此，當時，直線與軸重合，當時，直線與軸平行. ……………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為，即．
后面解法同解法一.
21．（本題滿分14分）
已知函數
，
為函數的導函數．
（Ⅰ）若數列
滿足：
，
（
），求數列的通項
；
（Ⅱ）若數列
滿足：
，
（）．
（?）當
時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項
；若不是，請說明理由；
（?）當
時， 求證：
．
【解】（Ⅰ）
， …………………………1分
，
即
．
…………………………3分
， 數列
是首項為，公比為的等比數列．
，即
．
…………………………5分
（Ⅱ）（?）
，
．
當
時，
．
假設
，則
．
由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為
． …………8分
（?）
， ．
當
時，
．
假設
，則 
．
由數學歸納法，得出數列
．
…………………………10分
又
，
，
即
．
…………………………12分
．
，
．
…………………………14分
審題：石永生 命題：喻秋生 姚亮 黃元華
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