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(文科)已知A、B、C是直線l上的三點,向量 ,滿足:
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(1)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;
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(2)當a=1時,求證:直線 0不可能是函數(shù) 的圖象的切線。
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(理科)已知A、B、C是直線l上的三點,向量 滿足
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(1)求函數(shù) 的表達式;
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(2)若x>0,證明: ;
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(3)若不等式 都恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。
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已知橢圓 ,并且直線y=x+b是拋物線 的一條切線。 (1)求橢圓的方程;
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(2)過點S(0, )的動直線L交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點T?若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由。
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(文科做)已知曲線 ,過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點B1,再過B1作y軸的平行線交曲線C于點A2,再過A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2,再過B2作y軸的平行線交曲線C于點A3,…,依次作下去,記點An的橫坐標為數(shù)學卷.files/image137.gif)
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(1)求數(shù)列 的通項公式;
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(2)記 的前n項和Tn,求證: .
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(1)若函數(shù) 處連續(xù),求a的值;
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一、選擇題 BDCBB DCBCB AA 二、填空題 13.300 14.(文) (理)3 15. 16.①③④ 三、解答題 17.解:(1) , 且與向量數(shù)學卷.files/image168.gif) 數(shù)學卷.files/image170.gif)
數(shù)學卷.files/image172.gif)
又數(shù)學卷.files/image174.gif) ,
數(shù)學卷.files/image178.gif)
(2)由(1)可得A+C , 數(shù)學卷.files/image182.gif)
8分
數(shù)學卷.files/image186.gif)
10分
數(shù)學卷.files/image190.gif)
,
當且僅當 時, 12分
18.(文科)解:設既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊共有(7-x)人,那么只會一項的人數(shù)是(7-2x)人, (1)數(shù)學卷.files/image198.gif) 數(shù)學卷.files/image200.gif)
即數(shù)學卷.files/image202.gif) 數(shù)學卷.files/image204.gif)
故文娛隊共有5人。(8分)
(2)P( =1) (12分) (理科)解:(1)甲得66分(正確11題)的概率為 ……………………2分
乙得54分(正確9題)的概率為 ………………4分 顯然P1=P2,即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大。………………6分 (2)設答錯一題倒扣x分,則學生乙選對題的個數(shù)為 隨機選擇20個題答對題的個數(shù)的期望為 , 得分為 , =6數(shù)學卷.files/image222.gif) 數(shù)學卷.files/image224.gif)
令數(shù)學卷.files/image226.gif) 即每答錯一題應該倒扣2分。……………………12分 19.解(1)取BD中點N,連AN、MN ∵MN//BC ∴∠AMN或其鄰補角就是異面直線AM與BC所成的角,在△AMN中, 數(shù)學卷.files/image228.gif)
(4分)
(2)取BE中點P,連AP、PM,作MQ⊥AP于Q, 過Q作QH⊥AB于H,連MH, ∵EB⊥AP,EB⊥PM ∵EB⊥面APM即EB⊥MQ, ∴MQ⊥面AEB ∴HQ為MH在面AEB上的射影,即MH⊥AB ∴∠MHQ為二面角M―AB―E的平面角, 在△AMO中,數(shù)學卷.files/image232.gif) 在△ABP中,數(shù)學卷.files/image234.gif) 數(shù)學卷.files/image236.gif)
∴二面角M―AB―E的大小,為 (8分) (3)若將圖(1)與圖(2)面ACD重合,該幾何體是5面體 這斜三棱柱的體積=3VA-BCD= (12分) 20.(文科)(1)數(shù)學卷.files/image242.gif) 數(shù)學卷.files/image244.gif)
,
即 …………………………2分 ……………………4分
當 恒成立, 的單調(diào)區(qū)間為數(shù)學卷.files/image255.gif)
當數(shù)學卷.files/image257.gif) …………………………6分
此時,函數(shù) 上是增函數(shù), 在 上是減函數(shù)……………………8分 (2)數(shù)學卷.files/image265.gif) 直線 的斜率為-4………………9分
假設 無實根 不可能是函數(shù) 圖象的切線。………………12分
(理科)(1)數(shù)學卷.files/image276.gif) 數(shù)學卷.files/image278.gif)
由于A、B、C三點共線, 即 ……………………2分 數(shù)學卷.files/image282.gif)
數(shù)學卷.files/image284.gif)
故 …………………………4分 (2)令數(shù)學卷.files/image288.gif) 由數(shù)學卷.files/image290.gif) 數(shù)學卷.files/image292.gif)
數(shù)學卷.files/image294.gif)
上是增函數(shù)……………………6分
故數(shù)學卷.files/image298.gif) 即 ………………………………8分 (3)原不等式等價于數(shù)學卷.files/image301.gif) 令數(shù)學卷.files/image303.gif) ………………10分
當數(shù)學卷.files/image307.gif) 令數(shù)學卷.files/image309.gif) 得 12分 21.解:(I)由數(shù)學卷.files/image313.gif) 因直線數(shù)學卷.files/image315.gif) 數(shù)學卷.files/image317.gif) 數(shù)學卷.files/image321.gif)
數(shù)學卷.files/image323.gif) 故所求橢圓方程為數(shù)學卷.files/image325.gif) (II)當L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程: 數(shù)學卷.files/image327.gif) 當L與y軸平行時,以AB為直徑的圓 的方程: 數(shù)學卷.files/image329.gif) 即兩圓相切于點(0,1) 因此,所求的點T如果存在,只能是(0,1)。事實上,點T(0,1)就是所求的點,證明如下。 若直線L垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,1) 若直線L不垂直于x軸時,可設直線數(shù)學卷.files/image331.gif) 由數(shù)學卷.files/image333.gif) 記點數(shù)學卷.files/image335.gif) 又因為數(shù)學卷.files/image337.gif) 所以數(shù)學卷.files/image339.gif) 數(shù)學卷.files/image341.gif) ,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1),故在坐標平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件 22.(文科)解:(I)數(shù)學卷.files/image345.gif) 曲線C在點數(shù)學卷.files/image349.gif) (2分) 令數(shù)學卷.files/image353.gif) 依題意點數(shù)學卷.files/image355.gif) 數(shù)學卷.files/image357.gif) 又 (4) 數(shù)學卷.files/image361.gif) (5分) (II)由已知數(shù)學卷.files/image365.gif) ① ② ①-②得 數(shù)學卷.files/image371.gif) (9分) (10分) 又數(shù)學卷.files/image377.gif) 又當數(shù)學卷.files/image379.gif) 數(shù)學卷.files/image381.gif) 數(shù)學卷.files/image383.gif) (13) 綜上 (14分) 22.(理科)解:(I)數(shù)學卷.files/image388.gif) 2 (II)數(shù)學卷.files/image392.gif) 3分 數(shù)學卷.files/image396.gif) 數(shù)學卷.files/image398.gif) 4分 上是增函數(shù) 5分 又當 也是單調(diào)遞增的 6分 當數(shù)學卷.files/image406.gif) 此時, 不一定是增函數(shù) 7分 (III)當數(shù)學卷.files/image410.gif) 當數(shù)學卷.files/image412.gif) 欲證:數(shù)學卷.files/image414.gif) 即證:數(shù)學卷.files/image416.gif) 即需證: 數(shù)學卷.files/image418.gif) 猜想 ………………8分 構(gòu)造函數(shù)數(shù)學卷.files/image422.gif) 數(shù)學卷.files/image424.gif)
在(0,1)上時單調(diào)遞減的,
……………………10分
設 , 同理可證數(shù)學卷.files/image432.gif) 成立……………………12分
分別取 ,所以n-1個不等式相加即得: 數(shù)學卷.files/image438.gif)
數(shù)學卷.files/image440.gif)
……………………14分
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