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江蘇省如皋市2009屆高三第一次統一考試

數學試卷(文科)

一．填空題

試題詳情

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二．解答題

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一、．填空題

1．設集合, ,  則A∩B=           

2． 在等比數列中，，公比q是整數，則= ―128      

3． 已知0<2a<1,若A=1+a², B=, 則A與B的大小關系是   A<B 

4．在數列中，已知，當時，，那么.

5． 正數滿足，則的最小值為__  

6． 已知數列，，且數列的前項和為，那么 的值為______99____

7． 已知函數的定義域是R，則實數k的取值范圍是 _

8． 等差數列的前15項的和為-5，前45項的和為30，則前30項的和為___5_____

9． 已知兩個等差數列的前n項的和分別為，且，則 ＝__

10．若是等差數列，首項，，則使前n項和 成立的最大正整數n是  4006  

11．若正數a、b滿足ab=a+b+3, 則ab的取值范圍是     

12．設≥0，≥0，且，則的最大值為______

13．不等式的解集是或__

14．若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍（,）_

二．解答題

15．（本題14分）設全集為R,集合A={ㄏ(3-)},B={ㄏ},

求．

解：A=[-1,3)                                            ……3分

, B=(-2,3]                                            ……6分

[-1,3)                                      ……9分

                       ……14分

16．（本題14分）設數列的前項和為．已知，，．

（1）設，求數列的通項公式；

（2）求數列{}的通項公式．

解：（1）依題意，，即，   ……3分

由此得．                              ……6分

因此，所求通項公式為

，．                          ……8分

（2）由①知，，

于是，當時，

，                                     ……12分

                                                    13分

                              ……14分

17．（本題15分）已知二次函數的二次項系數為，且不等式的解集為．

（1）若方程有兩個相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數，求的取值范圍．

解：（1）設由得

    它的解集為（1，3）得方程的兩根為1和3且a<0

    即  ……（1）                      ……3分

     有等根得

             ……（2）                      ……6分

     由(1)(2)及得

故的解析式為                       ……8分

（2）由

及                      ……10分

由                                           ……12分

解得                               ……15分

18．（本題15分）已知, 若在區間上的最大值為, 最小值為, 令．

(1) 求的函數表達式；

(2) 判斷的單調性, 并求出的最小值．

解：(1) 函數的對稱軸為直線, 而

∴在上                           ……3分

①當時，即時，         ……5分

②當2時，即時，          ……7分

                 ……8分

(2)

．                                    ……15分

19．（本題16分）某房地產開發公司計劃在一樓區內建造一個長方形公園，公園由長方形的休閑區和環公園人行道（陰影部分）組成．已知休閑區的面積為平方米，人行道的寬分別為米和米（如圖）

（1）若設休閑區的長和寬的比，求公園所占面積關于的函數 的解析式；

（2）要使公園所占面積最小，休閑區的長和寬該如何設計？

解：（1）設休閑區的寬為米，則其長為米，

   ∴，

  ∴

      …8分

   （2），當且僅當時，公園所占面積最小，                                                             ……14分

     此時，，即休閑區的長為米，寬為米。……16分

20．已知函數滿足．

   （1）求的值；

   （2）若數列 ，求數列的通項公式；

   （3）若數列滿足，是數列前項的和，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在指出的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

解：（1）令，， ，                 ……2分

令，                                      ……5分

（2）∵  ①

∴  ②

由（Ⅰ），知

∴①+②，得