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廣東省茂名市2009年第一次高考模擬考試
理科數學
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若集合
中元素個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
2.在等差數列
中，若
的值為（ ）
A．20 B．
3.甲校有
名學生，乙校有
名學生，丙校有
名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為
人的樣本，應在這三校分別抽取學生（ ）
A.
人,人，人
B.人，
人，
人
C.
人，人，
人
D.人，
人，人
4.已知函數
對任意
都有
則
等于（ ）
A. 
或
B. 
或 C. D. 或
5.“
”是“
的展開式的第三項是
”的
條件
A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
6. 甲、乙兩間工廠的月產值在08年元月份時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產值.乙以后每個月比前一個月增加產值的百分比相同.到08年11月份發現兩間工廠的月產值又相同.比較甲、乙兩間工廠08年6月份的月產值大小，則有（ ）
A. 甲的產值<乙的產值 B. 甲的產值=乙的產值 C. 甲的產值>乙的產值 D.不能確定
7. 已知函數
是定義域為
的偶函數,且
,若在
上是減函數,那么在
上是
( )
A. 增函數 B. 減函數 C. 先增后減的函數 D. 先減后增的函數
8. 將自然數按如下規則“放置”在平面直角坐標系中，使滿足條件：（1）每一個自然數“放置”在一個“整點”（橫縱傺標均為整數的點）上；（2）0在原點，1在（0，1）點，2在（1，1）點，3在（1，0）點，4在（1，－1）點，5在（0，―1）點，6在（－1，－1）點，……，即所有自然數按順時針“纏繞”在以“0”為中心的“樁”上，則“放置”數字
的整點坐標為（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13-15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9. 從5名外語系大學生中選派4名同學參加廣州亞運會翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有2人參加，交通和禮儀各有1人參加，則不同的選派方法共有 . (用數字作答)
10. 定義某種運算
,運算原理如圖1所示,則式子:
的值是 .
11. 如圖2，由兩條曲線
及直線
所圍成的圖形的面積為
12. 已知實數
滿足不等式組
,目標函數
.若取最大值時的唯一最優解是(1,3),則實數
的取值范圍是 .
◆第13－15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分◆
13.（坐標系與參數方程選做題）把極坐標方程
化為直角坐標方程是
．
14.（不等式選講選做題）函數
的最大值為_________________。
15．（幾何證明選講選做題）如圖，梯形
，
，
是對角線
和
的交點，
，
則
．
三、解答題：本大題共6個小題，共80分，在答題卡的相應位置寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16、（本題滿分12分）
已知
的圖象如右圖
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）說明的圖象是由
的圖象經過怎樣的變換得到?
17、（本小題滿分12分）
旅游公司為3個旅游團提供4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條.
（Ⅰ）求3個旅游團選擇3條不同的線路的概率；
（Ⅱ）求選擇甲線路旅游團數的分布列和期望.
18、（本小題滿分14分）
已知一動圓M,恒過點F
，且總與直線
相切,
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）探究在曲線C上,是否存在異于原點的
兩點,當
時,直線AB恒過定點?若存在,求出定點坐標;若不存在,說明理由.
19、（本小題滿分14分）如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，
（Ⅰ）求證：
平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．
20、（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（Ⅰ）討論
時, 的單調性、極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，
;
（Ⅲ）是否存在實數，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
21．（本小題滿分14分）
已知數列
,
,
（Ⅰ）求數列的通項公式
（Ⅱ）當
時,求證:
（Ⅲ）若函數滿足：
求證：
廣東省茂名市2009年第一次高考模擬考試
一、選擇題：D C B B A C A C
二、填空題：9、60 ； 10、8 11、
；12、
13、
；14、1：6 ; 15、
三、解答題：
16、解：解: ( 1) 由圖知A= 4…………1分 由
,得
所以
…3分
由 
,得
……………5分,
所以,
……………6分
(2) ①由
得圖象向左平移
單位得
的圖象……………8分
② 再由圖象的橫坐標縮短為原來
得
的圖象…………10分
③由的圖象縱坐標伸長為原來的4倍得的圖象…………12分
17、解：1）3個旅游團選擇3條不同線路的概率為：P1=
……4分
（2）設選擇甲線路旅游團數為ξ，則ξ=0，1，2，3………………5分
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）= 
P（ξ=3）= 
…9分
ξ
0
1
2
3
∴ξ的分布列為：
………………10分
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
………………12分
18、（本小題14分）
(1) 因為動圓M,過點F
且與直線
相切,所以圓心M到F的距離等于到直線
的距離.所以,點M的軌跡是以F為焦點, 為準線的拋物線,且
,
, 所以所求的軌跡方程為
……………5分
(2) 假設存在A,B在上,
所以,直線AB的方程:
,即 
即AB的方程為:
,即 
即:
，令
,得
，所以,無論
為何值,直線AB過定點(4,0)
19．解：解:方法一：⑴．證明：連結OC 
………… 1分
，
． ……… 2分
在
中，由已知可得
… 3分
而
， 
………………… 4分
即
………………… 5分
∴
平面
． …………………………… 6分
⑵．解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
，
∴ 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分
在
中，
是直角斜邊AC上的中線，
∴
……………9分 ∴
………… 10分
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為
． ………………………… 11分
⑶．解：設點E到平面ACD的距離為
． 
，
…12分
在
中，
,
,而
，
．
∴
， ∴點E到平面ACD的距離為
…14分
方法二：⑴．同方法一．⑵．解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則
， …………… 9分
∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．…… 10分
⑶．解：設平面ACD的法向量為
則
，∴
，令
得
是平面ACD的一個法向量．又
∴點E到平面ACD的距離 
．…14分
20. （Ⅰ）
，
……1分
∴當
時，
，此時
單調遞減
當
時，
，此時單調遞增 ……3分 ∴的極小值為
……4分
（Ⅱ）的極小值為1，即在
上的最小值為1， ∴ 
，
……5分
令
，
， ……6分
當
時，
，
在上單調遞增 ……7分
∴
∴在（1）的條件下，
……9分
（Ⅲ）假設存在實數
，使
（
）有最小值3，
…9分
① 當
時，在上單調遞減，
，
（舍去），所以，
此時無最小值. ……10分 ②當
時，在
上單調遞減，在
上單調遞增
，
，滿足條件. ……11分
③ 當
時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.
21. 解: (1) 
,兩邊加
得: 
,
是以2為公比, 
為首項的等比數列. 
……①
由
兩邊減
得: 
是以
為公比, 
為首項的等比數列. 
……②
①-②得: 
所以,所求通項為
…………5分
(2) 當
為偶數時,
當為奇數時,
,
,又
為偶數
由(1)知, 
……………………10分
（3）證明：
又
……12分
………………-14分
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