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8．平面內有兩個定點A、B，動點P滿足|AP|=2|PB|，則點P的軌跡是                   （    ）

       A．直線                   B．雙曲線               C．橢圓           D．圓

9．已知定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=- f（x），則f（9）的值為           （    ）

       A．-1                       B．0                        C．1                        D．2

10．將4個不同顏色的小球全部放入不同標號的3個盒子中，每個盒子都不空的放法種數為

                                                                                                                              （    ）

       A．96                      B．81                      C．64                      D．36

11．已知各頂點都在同一個球面上的正四棱錐高為3，體積為6，則這個球的表面積是（    ）

       A．16π                   B．20π                   C．24π                   D．32π

12．已知點A（2，2），P為雙曲線上一動點，F為雙曲線的右焦點

       則|PA|+|PF|的最小值為                                                                                     （    ）

       A．                      B．4                        C．            D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

13．已知實數x、y滿足，則的最大值為                。

14．將直線l按向量a=（2，-1）平移后得到直線l′，再將直線l′按向量b=（-1，2）平移

       后又與直線l重合，則直線l的斜率為                    。

15．若正數a、b滿足，則的最小值為                     。

16．已知，則a、b、

       c的大小關系為                        。

17．（本小題滿分10分）

       已知函數

   （1）求函數的單調增區間；

   （2）求函數的最值及取得最值時x的值。

18．（本小題滿分12分）

       在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知

   （1）判斷△ABC的形狀；

   （2）若，求△ABC的面積。

19．（本小題滿分12分）

       如圖，四棱錐P―ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點

       E、F分別為棱AB、PD的中點。

   （1）求證：AF∥平面PCE；

   （2）求二面角E―PD―C的大小；

   （3）求點A到平面PCE的距離。

20．（本小題滿分12分）

       已知數列{a_n}滿足關系式，設

   （1）求證：數列{b_n}為等比數列；

   （2）求a_n及S_n；

   （3）設c_n= S_n+na_n，T_n為數列{c_n}的前n項和，求證：T_n＜1.

21．（本小題滿分12分）

       已知直線l：y=kx+1交曲線C：y=ax²（a＞0）于P、Q兩點，M為PQ中點，分別過P、

       Q兩點作曲線C的切線，兩切線交于點N，當k變化時。

   （1）求點M的軌跡方程；

   （2）求點N的軌跡方程；

   （3）求證：MN中點必在曲線C上。

22．（本小題滿分12分）

       設f（x）=ax²+bx+c，若6a+2b+c=0，f（1）f（3）＞0，

   （1）求證：a≠0且；

   （2）求證：方程f（x）=0在區間（0，4）內必有兩個實根x₁、x₂，且≤| x₁- x₂|＜3

參 考 答 案

第Ⅰ卷 （選擇題，共60分）

1．B  2．C  3．D  4．C  5．B  6．A  7．A  8．D  9．B  10．D  11．A  12．C

簡答與提示：

1．∵，，

   ∴M∩N=（0，1），故選B。

2．∵

   ，故選C。

3．取a=1，b=-2，可驗證A、B、C均不正確，故選D。

4．垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，可能相交或異面，故選C。

5．考慮0＜m＜5或m＞5兩種情況，若0＜m＜5，則， ，

   ，故

   選B。

6．∵，故選A。

7．的展開式中常數項為第3項，故選A。

8．可建立平面直角坐標系求出軌跡方程，根據方程形式可判斷軌跡為圓，或由平面幾何中

   相關定理可知軌跡是圓，故選D。

9．由f（x+2）=- f（x）可得f（x+4）=- f（x+2）= f（x），所以函數f（x）為周期函數，最小

   正周期為T=4，f（9）= f（1）=- f（-1），又函數f（x）為偶函數，所以f（1）=

    f（-1）=0，所以f（9）=0，故選B。

10．=36，故選D。

11．由，可利用三角形相似計算出r=2，S_球=4πr²=16π，故

       選A。

12．設雙曲線的左焦點為由雙曲線定義可知，,

       故選C。

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

13．7                              14．1                       15．                     16．

簡答與提示：

13．畫出可行域，如右圖所示，在點A（5，3）處取得

       最大值為7.

14．設直線l方程為y=kx+b，按向量a=（2，-1）平移

       后得到按向量b=（-1，2）平移后得直線方程為

：k：y=k(x-2)+b-1再將（x+1-2）+b-1+2=kx-k+b+1，

       又與直線l重合，∴-k+b+1=b，∴k=1.

15．∵

16．

       c=4cos36cos54cos72=4sin36cos36cos72=2sin72cos72=sin144=sin36，

       ∴

17．解：本小題主要考查三角恒等變換及三角函數圖象和性質。

   （1）

                                                      （4分）

       ∴當

       即時，函數為增函數，

       ∴增區間為                                                          （6分）

   （2）當，即，時

       當，即，時  （10分）

18．本小題主要考查正余弦定理的應用及三角恒等變換。

       解：（1）∵

       ∴

       ∴sinA=2cosBsinC，

       又∵sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，

       ∴sinBcosC+ cosBsinC=2cosBsinC，

       ∴sinBcosC- cosBsinC= sin（B-C）=0

       ∴在△ABC中B=C，

       ∴△ABC為等腰三角形

       另解：∵，

       ∴a²+c²-b²=a²，

       ∴c²=b²

       ∴c=b

       ∴△ABC為等腰三角形

   （2）∵，

       ∵，

       ∴，

       ∴。                                             （12分）

       另解：b=3，∴c=b=3

       又∵

       ∴

       ∴

19．本小題主要考查空間線面關系，空間想象能力和推理運算能力或空間向量的應用。

       解法一：

   （1）證明：

       取PC的中點G，連接FG、EG，

       ∴FG為△PCD的中位線，

       ∴FG=CD且FG∥CD，

       又∵底面四邊形ABCD是正方形，E為棱AB的中點，

       ∴AE=CD且AE∥CD，

       ∴AE=FG且AE∥FG，

       ∴四邊形AEGF是平行四邊形，

       ∴AF∥EG，

       又EG平面PCE，AF平面PCE，                                                              （4分）

       ∴AF∥平面PCE。

   （2）∵PA⊥底面ABCD，

       ∴PA⊥AD，PA⊥CD，

       又AD⊥CD，PAAD=A，

       ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF

       又PA=2，PDA=45°，

       ∴PA=AD=2，

       ∵F是PD的中點，∴AF⊥PD，

       又CDPD=D，

       ∴AF⊥平面PCD，

       ∵AF∥EG，

       ∴EG⊥平面PCD，

       又GF⊥PD，連結EF，

       則GFE是二面角E―PD―C的平面角。                                                      （6分）

       在Rt△EGF中，EG=AF=，GF=1，

       ∴tanGFE=

       ∴二面角E―PD―C的大小為arctan。                                                      （8分）

   （3）設A到平面PCE的距離為h，

       由

       ∴點A到平面PCE的距離為

       解法二：

   （1）由于PA⊥底面ABCD，且底面四邊形ABCD是正方形，以A為坐標原點建立空間

       直角坐標系如圖，

       ∵PA=2，，PDA=45°，∴AD=AB=PA=2，

       ∴A（0，0，0），B（2，0，0）, C（2，2，0）,

       D（0，2，0）, P（0，0，2）

       ∵點E、F分別為棱AB、PD的中點，

       ∴E（1，0，0），F（0，1，1），取

       PC的中點G，連結EG，則G（1，1，1），

       ∴（0，1，1），=（0，1，1），

       ∴AF∥EG，

       又∵EG平面PCE，AFPCE，

       ∴AF∥平面PCE。                                                                                          （4分）

   （2）設平面PDE的法向量為

       ∵

       ∴

       設平面PCD的法向量為

       ∵

       ∴                                          （6分）

       ∴

       ∴二面角E―PD―C的大小為arccos。                                                      （8分）

   （3）設平面PCE的法向量

       ∵

       ∴                                （10分）

       ∵，∴點A到平面PCE的距離        （12分）

20．本小題主要考查利用遞推關系求通項公式的方法，錯位相減法和及轉化思想。

   （1）證明：∵

       ∴，                                                               （2分）

       ∴

       ∴

       又由，

       ∴數列{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列。                                      （4分）

   （2）由（1）知數列{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列，∴b_n=，

       ∴也合適，

       ∴。（n∈N*）

       ∴                                                                                          （8分）

   （3）

       ∴                                           （12分）

21．本小題主要考查直線與拋物線位置關系及弦中點問題，軌跡的求法。

   （1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

       由

       ∴       ∴

       ∴

       ∴點M的軌跡方程為拋物線y=2ax²+1                                                              （4分）

   （2）設以點P（x₁，y₁）為切點的曲線C的切線方程l₁：y-y₁= k₁（x-x₁）

       將l₁方程代入曲線C：y=ax²并整理得

       ax²- k₁x-y₁+k₁x₁=0，

       △=

       ∴k₁=2ax₁，（也可利用導數直接得出此結論）。                                                 （6分）

       ∴直線l₁方程可化為y=2ax₁x-ax₁²                                            ①

       同理，以Q為切點的切線l₂方程可化為y=2ax₂x-ax₂²                ②，

       由①②可解出交點N坐標，=-1

       ∴點N的軌跡方程為直線y=-1

   （3）由（1）知點M的坐標為由（2）知道點N坐標為，

       ∴MN中點坐標為，滿足曲線C的方程，

       ∴MN中點必在曲線C上。                                                                              （12分）

22．本小題主要考查二次函數圖象及性質，二次函數、二次方程、二次不等式的關系。

       解：（1）∵f（1）f（3）=（a+b+c）（9a+3b+c）=―（5a+b）（3a+b）＞0，

       若a=0則f（1）f（3）=-b²＜0，與已知矛盾，∴a≠0                                      （2分）

       將不等式―（5a+b）（3a+b）兩邊同除以-a²得

       ∴                                                                                              （5分）

   （2）∵f（0）f（4）=c（16a+4b+c）=―（6a+2b）（10a+2b）=-4（3a+b）（5a+b），

       ∴f（0）f（4）=4 f（1）f（3）＞0，說明f（0）與f（4）同號，                     （6分）

       又f（2）=4a+2b+c=-2a，

       f（0）+ f（4）=c+16a+4b+c=16a+4b+2c=4a=-2 f（2），

       說明f（0）與f（2）異號，f（4）與f（2）異號，                                           （8分）

       ∴必有一根在（0，2）內，另一根在（2，4）內，                                          （9分）

       ∴方程f（x）在區間（0，4）內必有兩個實根x₁，x₂

       ∴

       ∵

       ∴                                                                                      （12分）