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2000年高考江西、天津卷

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分60分。

（1）B     （2）B    （3）C      （4）D     （5）D

   （6）C     （7）B     （8）C      （9）A     （10）C

   （11）C    （12）D

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。

（13）

0

1

2

0.9025

0.095

0.0025

   （14）    （15）  （16）②③

三、解答題

（5）本小題主要考查等可能事件的概率計算及分析和解決實際問題的能力。滿分10分。

解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結果有個，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結果有個，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結果有個；又甲、乙依次抽一題的可能結果有概率為個，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；

                                                      ――5分

（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。

     或   ，所求概率為。

                                                      ――10分

（18甲）本小題主要考查空間向量及運算的基本知識。滿分12分。

     如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O。

      （I）解：依題意得B，N，

       ∴                    ――2分

      （II）解：依題意得，B，C，。

       ∴ ，。

        。，                   ――5分

      ∴                   ――9分

（III）證明：依題意得，M

  ， ，

  ∴ ，∴              ――12分

（18乙）本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關系，邏輯推理能力。滿分

      12分。

      （I）證明：連結、AC，AC和BD交于O，連結。

∵ 四邊形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD。

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，          ――2分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面。

又 平面，

∴ BD。                                      ――4分

（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，

∴ 是平面角的平面角。

在中，BC=2，，，

∴ 。             ――6分

∵ ∠OCB=，

∴ OB=BC=1。

∴ ，

∴ 即。

作⊥OC，垂足為H。

∴ 點H是OC的中點，且OH，

所以 。                       ――8分

（III）當時，能使⊥平面。

證明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=。

∴ 三棱錐C- 是正三棱錐。                     ――10分

設與相交于G。

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1。

又 是正三角形的BD邊上的高和中線，

∴ 點G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面。

即 ⊥平面。                           ――12分

證明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥。                ――10分

當 時 ，平行六面體的六個面是全等的菱形，

同BD⊥的證法可得⊥。

又 BD∩=B，

∴⊥平面。                             ――12分  

（19）本小題主要考查不等式的解法、函數的單調性等基本知識、分類討論的

      數學思想方法和運算、推理能力。滿分12分。

  解：（I）不等式即

            ，

  由此可得，即，其中常數。

  所以，原不等式等價于

 即                              ――3分

 所以，當時，所給不等式的解集為；

   當時，所給不等式的解集為。        ――6分

  （II）在區間上任取，，使得<。

                   。      ――8分

（i）當時，

 ∵    ，

 ∴     ，

 又   ，

 ∴   ，

 即   。

 所以，當時，函數在區間上是單調遞減函數。 ――10分

（ii）當時，在區間上存在兩點，，滿足

，，即，所以函數在區間上不是單調函數。

綜上，當且僅當時，函數在區間上是單調函數。――12分

（20）本小題主要考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識。滿分12分。

     解：設容器底面短邊長為m，則另一邊長為 m，高為

由和，得，

設容器的容積為，則有

整理，得

   ，                           ――4分

∴                                ――6分

令，有

    ，

即  ，

解得   ，（不合題意，舍去）。           ――8分

從而，在定義域（0，1，6）內只有在處使。由題意，若過小（接近0）或過大（接受1.6）時，值很小（接近0），因此，當時取得最大值

   ，

這時，高為。

答：容器的高為1.2m時容積最大，最大容積為。     ――12分

（21）本小題主要考查等比數列的概念和基本性質，推理和運算能力。滿分12 

  分。

  解：（I）因為是等比數列，故有

        ，

將代入上式，得

  =，    ――3分

   即    

          =，

   整理得 ，

   解得    =2或=3。                                 ――6分

   （II）設、的公比分別為、，

   為證不是等比數列只需證。

   事實上，  ，

       。

   由于 ，，又、不為零，

   因此，，故不是等比數列。               ――12分

（22）本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。滿分14分。

      解：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD⊥軸。因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱。                                                       ――2分

依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高。

由定比分點坐標公式得

               ，

設雙曲線的方程為，則離心率。

由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

將③式代入②式，整理得   

                 ，

故               。                     ――10分

由題設得，。

解得             

所以雙曲線的離心率的取值范圍為。           ――14分