絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）
理科數學（必修+選修II）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至10頁，滿分150分，考試用時120分鐘，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷（共60分）
注意事項：
1. 答第I卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號，考試科目涂寫在答題卡上。
2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮檫干凈后，再選其他答案標號，不能答在試題卷上。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，P(A?B)=P(A)?P(B)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.
1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
得分
評卷人
（13）若 .
（14）已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 .
（15）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的 中點，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為 .
（15題圖）
（16）下列四個命題中，真命題的序號有 （寫出所有真命題的序號）.
①將函數y=的圖象按向量y=(-1,0)平移，得到的圖象對應的函數表達式為y=
②圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=相交，所得弦長為2
③若sin(+)= ,則sin(+)=,則tancot=5
④如圖，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，P為底面ABCD內一動點，P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分.
（16題圖）
得分
評卷人
（17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函數，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸的距離為2，并過點（1，2）.
（1）求;
（2）計算f(1)+f(2)+… +f(2 008).
得分
評卷人
（18）（本小題滿分12分）
設函數f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調區間。
得分
評卷人
（19）（本小題滿分12分）
如圖ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱錐V-A1B1C1的底面ABC，等邊∆ AB1C所在的平面與底面ABC垂直，且ABC=90°，設AC=2a,BC=a.
（1）求證直線B1C1是異面直線與A1C1的公垂線；
（2）求點A到平面VBC的距離；
（3）求二面角A-VB-C的大小.
（19題圖）
得分
評卷人
(20) （本小題滿分12分）
袋中裝著標有數學1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數字，求：
（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
(2)隨機變量的概率分布和數學期望；
(3)計分介于20分到40分之間的概率.
得分
評卷人
（21）（本小題滿分12分）
雙曲線C與橢圓有相同的熱點，直線y=為C的一條漸近線.
（1） 求雙曲線C的方程；
（2） 過點P(0,4)的直線l，求雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當 =，且時，求Q點的坐標.
得分
評卷人
（22）（本小題滿分14分）
已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項；
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（3） 記bn=，求｛bn｝數列的前項和Sn，并證明Sn+=1.
（1）―（12）DACBD BBAAD CC
(13) 2 (14) 32 (15) (16)34
（1）定義集合運算：A⊙B=｛z?z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
解：當x＝0時，z＝0，當x＝1，y＝2時，z＝6，當x＝1，y＝3時，z＝12，故所有元素之和為18，選D
（2）函數y=1+ax(0<a<1)的反函數的圖象大致是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
解：函數y=1+ax(0<a<1)的反函數為，它的圖象是函數向右移動1個單位得到，選A
(3)設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為（ C ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
解：令>2（x<2），解得1<x<2。令>2（x³2）解得xÎ（，+∞）
選C
（4）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=,b=1，則c=（ B ）
(B) 1 （B）2 （C）―1 （D）
解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，選B
（5）設向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d為（ D ）
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
解：設d＝（x，y），因為4a＝（4，－12），4b－2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依題意，有4a＋（4b－2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，選D
(6)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函數
f（x）的周期為4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，選C
（7）在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為（ B ）
(A) (B) (C) (D)
解：不妨設橢圓方程為（a>b>0），則有，據此求出e＝，選B
（8）設p：x－x－20>0,q：<0,則p是q的（ A ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助圖形知選A
（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為（ A ）
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
解：不考慮限定條件確定的不同點的個數為＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個數確定的不同點的個數只有三個，故所求的個數為36－3＝33個，選A
（10）已知的展開式中第三項與第五項的系數之比為－,其中=－1，則展開式中常數項是（ A ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
解：第三項的系數為－，第五項的系數為，由第三項與第五項的系數之比為－可得n＝10，
則＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數項為＝45，選A
（11）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則z=10x+10y的最大值是（C ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：畫出可行域：
易得A（5.5，4.5）且當直線z＝10x＋10y過A點時，
z取得最大值，此時z＝90，選C
（12）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為（ C ）
(A) (B) (C) (D)
（12題圖）
解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，選C
絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）
理科數學（必修+選修II）
注意事項：
1.用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
得分
評卷人
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.答案須填在題中橫線上.
（13）若 2 .
解：
（14）已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1),B(x2，y2)兩點，則的最小值是 32 .
解：顯然³0，又＝4（）³8，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。
（15）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的 中點，則直線AD 與平面B1DC所成角的正弦值為 .
（15題圖）
解：易證B1^平面AC1，過A點作AG^CD，則
AG^平面B1DC，于是ÐADG即ÐADC為直線AD 與平面B1DC所成角，由平面幾何知識可求得它的正弦值為。
（16）下列四個命題中，真命題的序號有 （寫出所有真命題的序號）.
①將函數y=的圖象按向量y=(-1,0)平移，得到的圖象對應的函數表達式為y=
②圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=相交，所得弦長為2
③若sin(+)=，sin(－)=,則tancot=5
④如圖，已知正方體ABCD- A1B1C1D1，P為底面ABCD內一動點，P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分.
解：①錯誤，得到的圖象對應的函數表達式應為y＝|x－2|
②錯誤，圓心坐標為（－2，1），到直線y=的距離為
>半徑2，故圓與直線相離，
③正確，sin(+)=＝sincos＋cossin
sin(－)＝sincos－cossin＝
兩式相加，得2 sincos＝，
兩式相減，得2 cossin＝，故將上兩式相除，即得tancot=5
④正確，點P到平面AD1的距離就是點P到直線AD的距離，
點P到直線CC1就是點P到點C的距離，由拋物線的定義
可知點P的軌跡是拋物線。
（16題圖）
三．解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知函數，且的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點（1,2）.
（I）求
（II）計算.
解：（I）
的最大值為2，.
又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，，
.
過點，
又
.
（II）解法一：，
.
又的周期為4，，
解法二：
又的周期為4，，
18．（本小題滿分12分）設函數，其中，求的單調區間.
解：由已知得函數的定義域為，且
（1）當時，函數在上單調遞減，
（2）當時，由解得
、隨的變化情況如下表
―
0
+
極小值
從上表可知
當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞增.
綜上所述：
當時，函數在上單調遞減.
當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.
19．（本小題滿分12分）
（1）求證直線是異面直線與的公垂線；
（2）求點A到平面VBC的距離；
（3）求二面角的大小。
解法1：
（Ⅰ）證明：∵平面∥平面，
又∵平面⊥平面，平面∩平面，
∴⊥平面，
，
又，.
為與的公垂線.
（Ⅱ）解法1：過A作于D，
∵△為正三角形，
∴D為的中點.
∵BC⊥平面
∴，
又，
∴AD⊥平面，
∴線段AD的長即為點A到平面的距離.
在正△中，.
∴點A到平面的距離為.
解法2：取AC中點O連結，則⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知，設A到平面的距離為x，
，
即，解得.
即A到平面的距離為.
則
所以，到平面的距離為.
(III)過點作于，連，由三重線定理知
是二面角的平面角。
在中，
。
。
所以，二面角的大小為arctan.
解法二：
取中點連,易知底面，過作直線交。
取為空間直角坐標系的原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系。則。
（I），，
，
。
又
由已知。
，
而。
又顯然相交，
是的公垂線。
（II）設平面的一個法向量，
又
由
取 得
點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值。
，設所求距離為。
則
所以，A到平面VBC的距離為.
（III）設平面的一個法向量
由
取
二面角為銳角，
所以，二面角的大小為
20．（本小題滿分12分）
袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3個小球上的最大數字，求：
（1）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（2）隨機變量ξ的概率分布和數學期望；
（3）計分介于20分到40分之間的概率。
解：（I）解法一：“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為，
則
解法二：“一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因為
所以.
（II）由題意有可能的取值為：2，3，4，5.
所以隨機變量的概率分布為
2
3
4
5
因此的數學期望為
（Ⅲ）“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，則
21．（本小題滿分12分）
雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點的直線，交雙曲線C于A、B兩點，交軸于Q點（Q點與C的頂點不重合），當，且時，求點的坐標。
解：（Ⅰ）設雙曲線方程為
由橢圓
求得兩焦點為，
對于雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線
解得 ，
雙曲線的方程為
（Ⅱ）解法一：
由題意知直線的斜率存在且不等于零。
設的方程：，
則
在雙曲線上，
同理有：
若則直線過頂點，不合題意.
是二次方程的兩根.
，
此時.
所求的坐標為.
解法二：
由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程，，則.
，
分的比為.
由定比分點坐標公式得
下同解法一
解法三：
由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程：，則.
，
.
，
，，
又，
即
將代入得
，否則與漸近線平行。
。
解法四：
由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設的方程：，
則
,
。
同理
.
即 。 （*）
消去y得.
當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。
由韋達定理有：
代入（*）式得
所求Q點的坐標為。
22．（本小題滿分14分）
已知，點在函數的圖象上，其中
（1）證明數列是等比數列；
（2）設，求及數列的通項；
（3）記，求數列的前項，并證明
解：（Ⅰ）由已知，
，兩邊取對數得
，
即
是公比為2的等比數列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）
=
由（*）式得
（Ⅲ）
又
又
.
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