2009年高考模擬試卷7（理）
（考試時間:120分鐘 滿分：150分 ）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個選項中，只有一個答案是正確的）
(
)1、設.files/image003.gif)
，集合.files/image005.gif)
，則.files/image007.gif)
A．1
B．.files/image009.gif)
C．2
D．.files/image011.gif)
( )2、下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A..files/image013.gif)
B..files/image015.gif)
C..files/image017.gif)
D..files/image019.gif)
(
)3、設.files/image021.gif)
，.files/image023.gif)
，則.files/image025.gif)
A．.files/image027.gif)
B．.files/image029.gif)
C．.files/image031.gif)
D．.files/image033.gif)
(
)4、若等差數列.files/image035.gif)
的前5項和.files/image037.gif)
，且.files/image039.gif)
，則.files/image041.gif)
A．12 B．
( )5、已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題，其中真命題是：
①若.files/image043.gif)
則.files/image045.gif)
；
②若.files/image047.gif)
則.files/image049.gif)
；
③若.files/image051.gif)
則；
④若m、n是異面直線，.files/image054.gif)
則
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
.files/image056.gif)
( )6、如圖，一環形花壇分成.files/image058.gif)
四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為
A．96 B．
( )7、函數.files/image060.gif)
的零點的個數是
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
( )8、一給定函數.files/image062.gif)
的圖象在下列圖中，并且對任意.files/image064.gif)
，由關系式.files/image066.gif)
得到的數列.files/image068.gif)
滿足.files/image070.gif)
，則該函數的圖象是
.files/image072.jpg)
A、 B、 C、 D、
二、填空題（共7小題，計30分。其中第9、10、11、12小題必做；第13、14、15題選做兩題，若3題全做，按前兩題得分計算。）
9、已知向量.files/image074.gif)
，.files/image076.gif)
，且.files/image078.gif)
，則.files/image080.gif)
．
10、.files/image082.gif)
的二項展開式中，.files/image084.gif)
的系數是________（用數字作答）．
11、已知數列.files/image086.gif)
滿足：.files/image088.gif)
，.files/image090.gif)
，則通項公式.files/image092.gif)
＿＿＿。
12、設f(x)是定義在R上的奇函數，且y＝f (x)的圖象關于直線.files/image094.gif)
對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ f
(4)+…+ f (2009)＝_____________
.files/image096.gif)
13、(坐標系與參數方程選做題) 極坐標系中，曲線.files/image098.gif)
和.files/image100.gif)
相交于點.files/image102.gif)
，則.files/image104.gif)
＝
；
14、(不等式選講選做題) 設.files/image106.gif)
，則.files/image108.gif)
的最小值為____．
15、(幾何證明選講選做題) 如圖，⊙O的直徑.files/image110.gif)
=.files/image112.gif)
是延長線上的一點，過點作⊙O的切線，切點為.files/image114.gif)
，連接.files/image116.gif)
， 若.files/image118.gif)
30°，PB = 。
三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
16、（本小題滿分12分）
已知向量.files/image120.gif)
，.files/image122.gif)
，.files/image124.gif)
（1）若.files/image126.gif)
，求向量.files/image128.gif)
、.files/image130.gif)
的夾角；
（2）當.files/image132.gif)
時，求函數.files/image134.gif)
的最大值。
17、（本小題滿分12分）
甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到.files/image136.gif)
四個不同的崗位服務，每個崗位
至少有一名志愿者．
⑴求甲、乙兩人同時參加.files/image138.gif)
崗位服務的概率；
⑵求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；
⑶設隨機變量.files/image140.gif)
為這五名志愿者中參加崗位服務的人數，求的分布列和數學期望．
18、（本小題滿分14分）
某城市2008年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同，為保護城市環境，根據城市規劃，汽車保有量不能超過60萬輛。
（1）如果每年新增汽車數量控制在3萬輛，汽車保有量能否達到要求？（需要說明理由）
（2）在保證汽車保有量不超過60萬輛的前提下，每年新增汽車數量最多為多少萬輛？
19、（本小題滿分14分）
已知.files/image144.gif)
（1）若.files/image146.gif)
的圖象有與.files/image148.gif)
軸平行的切線，求.files/image150.gif)
的取值范圍；
（2）若在.files/image153.gif)
時取得極值，且.files/image155.gif)
，.files/image157.gif)
恒成立，求.files/image159.gif)
的取值范圍．
20、（本小題滿分14分）
如圖1，矩形CDEF中DF＝2CD＝2，將平面ABCD沿著中線AB折成一個直二面角（如圖2），點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a（0＜a＜.files/image161.gif)
）。
（1）求MN的長；
（2）當a為何值時，MN的長最小；
（3）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的鈍二面角α的余弦值。
.files/image163.gif)
.files/image165.gif)
21、（本小題滿分14分）
設單調遞增函數的定義域為.files/image168.gif)
，且對任意的正實數x、y有：.files/image170.gif)
且.files/image172.gif)
．
（1）一個各項均為正數的數列.files/image174.gif)
滿足：.files/image176.gif)
，其中.files/image178.gif)
為數列的前n項和,求數列的通項公式；
（2）在(1)的條件下，是否存在正數M，使下列不等式：
.files/image180.gif)
對一切.files/image182.gif)
成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
選項
C
A
C
B
D
B
B
A
二、填空題（共7小題，計30分。其中第9、10、11、12小題必做；第13、14、15題選做兩題，若3題全做，按前兩題得分計算。）
9、 4 ．10、__10__（用數字作答）．11、__.files/image184.gif)
＿＿。12、___0___。
13、 .files/image186.gif)
；14、___8_____．15、 3
。
三、解答題（考生若有不同解法，請酌情給分！）
16.解：（1）.files/image188.gif)
…………2分
.files/image190.gif)
……………………………………3分
.files/image192.gif)
.files/image194.gif)
………………………………………………5分
（2）.files/image196.gif)
…………………………7分
.files/image198.gif)
.files/image200.gif)
…………………………………9分
.files/image202.gif)
.files/image204.gif)
………………………………………10分
故.files/image206.gif)
∴當.files/image208.gif)
………………………………12分
17．解：⑴、記甲、乙兩人同時參加.files/image138.gif)
崗位服務為事件.files/image211.gif)
，那么.files/image213.gif)
，即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是.files/image216.gif)
．……………………4分
⑵、記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件.files/image218.gif)
，
那么.files/image220.gif)
，…………………………………………………………6分
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是.files/image222.gif)
．………8分
⑶、隨機變量.files/image140.gif)
可能取的值為1，2．事件“.files/image225.gif)
”是指有兩人同時參加崗位服務，則
.files/image228.gif)
．所以.files/image230.gif)
，
的分布列是：…………………………………………………………………… 10分
1
2
.files/image112.gif)
.files/image235.gif)
.files/image237.gif)
∴.files/image239.gif)
…………………………………………………………12分
18．
解：設2008年末汽車保有量為a1萬輛，以后各年末汽車保有量依次為a2萬輛，a3萬輛，…，每年新增汽車x萬輛。………………………………………………………………1分
a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…
故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）
.files/image241.gif)
．………………………………………………6分
(1):當x=3萬輛時，an.files/image243.gif)
≤30
則每年新增汽車數量控制在3萬輛時，汽車保有量能達到要求。……………9分
(2):如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即an≤60（n＝1，2，3，…）
則.files/image245.gif)
，
即.files/image247.gif)
．
對于任意正整數n，.files/image249.gif)
因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，x≤3．6（萬輛）．………………13分
答：若每年新增汽車數量控制在3萬輛時，汽車保有量能達到要求；每年新增汽車不應超過3．6萬輛，則汽車保有量定能達到要求。………………………………………14分
19．解：（1）.files/image251.gif)
…………………………………………………………2分
由己知.files/image253.gif)
有實數解，∴.files/image255.gif)
，故.files/image257.gif)
…………………5分
（2）由題意.files/image153.gif)
是方程.files/image259.gif)
的一個根，設另一根為.files/image261.gif)
則.files/image263.gif)
，∴.files/image265.gif)
……………………………………………………7分
∴.files/image267.gif)
，.files/image269.gif)
當.files/image271.gif)
時，.files/image273.gif)
；當.files/image275.gif)
時，.files/image277.gif)
；
當.files/image279.gif)
時，
∴當.files/image281.gif)
時，.files/image283.gif)
有極大值.files/image285.gif)
，又.files/image287.gif)
，.files/image289.gif)
，
即當.files/image291.gif)
時，的量大值為 ………………………10分
∵對.files/image293.gif)
時，.files/image295.gif)
恒成立，∴.files/image297.gif)
，
∴.files/image299.gif)
或.files/image301.gif)
………………………………………………………………13分
故.files/image159.gif)
的取值范圍是.files/image303.gif)
………………………………………14分
.files/image305.gif)
20．解：（1）作MP∥AB交BC于點P，NQ∥AB交BE于點Q，連結PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，
∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=.files/image307.gif)
， .files/image309.gif)
.
即CP=BQ=.files/image311.gif)
.
∴MN=PQ=.files/image313.gif)
.files/image315.gif)
（0＜a＜）.…………………………………5分
（2）由（Ⅰ），MN=.files/image318.gif)
，所以，當a=.files/image320.gif)
時，MN=.
即M、N分別移動到AC、BF的中點時，MN的長最小，最小值為.………8分
（3）取MN的中點G，連結AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即為二面角α的平面角，………………………11分
又AG=BG=.files/image322.gif)
，所以，由余弦定理有cosα=.files/image324.gif)
.
故所求二面角的余弦值為－.files/image326.gif)
.………………………………………………………14分
（注：本題也可用空間向量，解答過程略）
21．解：⑴、.files/image328.gif)
對任意的正數.files/image330.gif)
均有.files/image332.gif)
且.files/image334.gif)
．
又.files/image337.gif)
.files/image339.gif)
.files/image341.gif)
，…………………………………………………4分
又.files/image343.gif)
是定義在.files/image345.gif)
上的單增函數，.files/image348.gif)
．
當.files/image350.gif)
時，.files/image352.gif)
，.files/image354.gif)
．.files/image356.gif)
，.files/image358.gif)
．
當.files/image360.gif)
時，.files/image362.gif)
，
.files/image364.gif)
．.files/image366.gif)
，
.files/image368.gif)
為等差數列，.files/image370.gif)
，.files/image372.gif)
． ……………………………6分
⑵、假設.files/image374.gif)
存在滿足條件，即.files/image376.gif)
對一切.files/image378.gif)
恒成立．
令.files/image380.gif)
，
.files/image383.gif)
，………………………10分
故.files/image385.gif)
，………………………12分
.files/image387.gif)
，.files/image390.gif)
單調遞增，.files/image392.gif)
，.files/image394.gif)
.files/image396.gif)
．
.files/image399.gif)
．……………………………………………………………14分
（考生若有不同解法，請酌情給分！）
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