拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點、離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當m=1時求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經過橢圓C₂的右焦點F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實數m，使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．