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在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為A₁B和CC₁的中點．求：

（Ⅰ）直線MN和BC所成角的正切值；
（Ⅱ）直線A₁B和平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）點N到直線AB的距離．

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF與BD交于點G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M為棱BB₁上的一點，當

B1M

MB

的值為多少時能使D₁M⊥平面EFB₁？試給出證明．

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，G為上底面A₁B₁C₁D₁的中心．
（I）求AD與BG所成角的余弦值；
（II）求二面角B-FB₁-E的大小；
（III）求點D到平面B₁EF的距離．

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是C₁B₁的中點，若E，F都是AB上的點，且|EF|=

a

2

，Q是A₁B₁上的點，則四面體EFPQ的體積是．