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題型1:正.余弦定理 (2009岳陽一中第四次月考).已知△中......則 ( ) A.． B ． C． D．或答案 C 例1．(1)在中.已知..cm.解三角形, (2)在中.已知cm.cm..解三角形(角度精確到.邊長精確到1cm). 解析:(1)根據三角形內角和定理. , 根據正弦定理. , 根據正弦定理. (2)根據正弦定理. 因為＜＜.所以.或 ①當時. . ②當時. . 點評:應用正弦定理時(1)應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時.可能有兩解的情形,(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器例2．(1)在ABC中.已知...求b及A, (2)在ABC中.已知...解三角形解析:(1)∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理.也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos ∴ 解法二:∵sin 又∵＞＜∴＜.即＜＜ ∴ (2)由余弦定理的推論得: cos , cos , 點評:應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍. 題型2:三角形面積例3．在中....求的值和的面積. 解法一:先解三角方程.求出角A的值. 又, , . 解法二:由計算它的對偶關系式的值. ① , ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 從而 . 以下解法略去. 點評:本小題主要考查三角恒等變形.三角形面積公式等基本知識.著重數學考查運算能力.是一道三角的基礎試題.兩種解法比較起來.你認為哪一種解法比較簡單呢? 例4．在銳角中.則的值等于 . 的取值范圍為 . 答案 2 解析設由正弦定理得由銳角得. 又.故. 例5．在中.角所對的邊分別為.且滿足.． (I)求的面積, (II)若.求的值．解 (1)因為..又由得. (2)對于.又.或.由余弦定理得 . 例6．在中.內角A.B.C的對邊長分別為...已知.且求b 分析::此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分. 解法一:在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得:.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又. .即由正弦定理得.故 ② 由①.②解得. 評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應注意總結.提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒:兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行.不必強化訓練題型4:三角形中求值問題例7．的三個內角為.求當A為何值時.取得最大值.并求出這個最大值. 解析:由A+B+C=π.得=-.所以有cos =sin. cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin=-22+ , 當sin = .即A=時, cosA+2cos取得最大值為. 點評:運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數的形式.通過三角函數的性質求得結果. 例8．在中.角所對的邊分別為.且滿足.． (I)求的面積, (II)若.求的值．解(Ⅰ) 又..而.所以.所以的面積為: 知.而.所以所以點評:本小題主要考察三角函數概念.同角三角函數的關系.兩角和與差的三角函數的公式以及倍角公式.考察應用.分析和計算能力題型5:三角形中的三角恒等變換問題例9．在△ABC中.a.b.c分別是∠A.∠B.∠C的對邊長.已知a.b.c成等比數列.且a2-c2=ac-bc.求∠A的大小及的值. 分析:因給出的是a.b.c之間的等量關系.要求∠A.需找∠A與三邊的關系.故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a.再用正弦定理可求的值. 解法一:∵a.b.c成等比數列.∴b2=ac. 又a2-c2=ac-bc.∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中.由余弦定理得:cosA===.∴∠A=60°. 在△ABC中.由正弦定理得sinB=.∵b2=ac.∠A=60°. ∴=sin60°=. 解法二:在△ABC中. 由面積公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac.∠A=60°.∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 評述:解三角形時.找三邊一角之間的關系常用余弦定理.找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理. 例10．在△ABC中.已知A.B.C成等差數列.求的值. 解析:因為A.B.C成等差數列.又A+B+C＝180°.所以A+C＝120°. 從而＝60°.故tan.由兩角和的正切公式. 得. 所以 . 點評:在三角函數求值問題中的解題思路.一般是運用基本公式.將未知角變換為已知角求解.同時結合三角變換公式的逆用. 題型6:正.余弦定理判斷三角形形狀例11．在△ABC中.若2cosBsinA＝sinC.則△ABC的形狀一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形答案:C 解析:2sinAcosB＝sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB＝sinC. ∴sin(A-B)＝0.∴A＝B 點評:本題考查了三角形的基本性質.要求通過觀察.分析.判斷明確解題思路和變形方向.通暢解題途徑例12．在中.為銳角.角所對的邊分別為.且 (I)求的值, (II)若.求的值. 解(I)∵為銳角. ∴ ∵ ∴ 知.∴ 由得 .即又∵ ∴ ∴ ∴ 題型7:正余弦定理的實際應用例13．如圖.A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內.B.D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為..于水面C處測得B點和D點的仰角均為.AC=0.1km.試探究圖中B.D間距離與另外哪兩點間距離相等.然后求B.D的距離(計算結果精確到0.01km.1.414.2.449) 解:在△ABC中.∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°. 故CB是△CAD底邊AD的中垂線.所以BD=BA. 在△ABC中. 即AB= 因此.BD= 故B.D的距離約為0.33km. . 點評:解三角形等內容提到高中來學習.又近年加強數形結合思想的考查和對三角變換要求的降低.對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展.但也不可太難.只要掌握基本知識.概念.深刻理解其中基本的數量關系即可過關. 為了測量兩山頂M.N間的距離.飛機沿水平方向在A.B兩點進行測量.A.B.M.N在同一個鉛垂平面內.飛機能夠測量的數據有俯角和A.B間的距離.請設計一個方案.包括:①指出需要測量的數據(用字母表示.并在圖中標出),②用文字和公式寫出計算M.N間的距離的步驟解:方案一:①需要測量的數據有:A 點到M.N點的俯角,B點到M. N的俯角,A.B的距離 d . ②第一步:計算AM . 由正弦定理 , 第二步:計算AN . 由正弦定理 , 第三步:計算MN. 由余弦定理 . 方案二:①需要測量的數據有: A點到M.N點的俯角.,B點到M.N點的府角.,A.B的距離 d . ②第一步:計算BM . 由正弦定理 , 第二步:計算BN . 由正弦定理 , 第三步:計算MN . 由余弦定理21.在中.為銳角.角所對的邊分別為.且 (I)求的值, (II)若.求的值. 解(I)∵為銳角. ∴ ∵ ∴ 知.∴ 由得 .即又∵ ∴ ∴ ∴ 點評:三角函數有著廣泛的應用.本題就是一個典型的范例.通過引入角度.將圖形的語言轉化為三角的符號語言.再通過局部的換元.又將問題轉化為我們熟知的函數.這些解題思維的拐點.你能否很快的想到呢? 【查看更多】

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