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(本小題滿分12分)

如圖，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為a的   

菱形，且，側棱AA₁長等于3a，O為底面ABCD對

角線的交點.

（1）求證：OA₁∥平面B₁CD₁；

（2）求異面直線AC與A₁B所成的角；

（3）在棱上取一點F，問AF為何值時，C₁F⊥平面BDF？

（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,  E、E分別是棱AD、AA的中點。

（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE//平面FCC；

（2）證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。

（本小題滿分12分）
如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA="2, " E、E分別是棱AD、AA的中點。

（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE//平面FCC；
（2）證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。

（本小題滿分12分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

（本小題滿分12分）

     如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,  AA=2,  E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。

（1）   證明：直線EE//平面FCC；

（2）   求二面角B-FC-C的余弦值。