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在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）設(shè)b_n=

an

2n-1

．證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）設(shè)bn=

an

2n-1

（n∈N^*），證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求

lim

n→∞

Sn

n•2n+1

的值；
（3）設(shè)c_n=2b_n-1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，dn=

Tn

4 a 2 n -Tn

，是否存在實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)m∈[1，2]，都有d₁+d₂+d₃+…+d_n≥log₈（2m+t）成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

在數(shù)列{a_n}中，已知a1=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-2a_n=0（n∈N^*），b_n是a_n和a_n+1的等差中項(xiàng)，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則S₆=．