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（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱，已知側(cè)面與底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠，=2，若二面角為30°.   （Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求與平面所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐為正三棱錐，并求P到平面距離.

（本小題滿分12分）如圖，斜三棱柱中，在底面的射影恰好是的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成角，側(cè)面與側(cè)面成角.

（1）求證：四邊形是矩形；（2）求斜三棱柱的體積.

（本小題滿分12分）

如圖，斜三棱柱，已知側(cè)面與底面垂直且，，，若二面角為，

（1）證明平面；                        

（2）求與平面所成角的正切值；

（3）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使三棱錐為正三棱錐，并求點(diǎn)到平面距離.

（本小題滿分12分）請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.

（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm²）最大，試問x應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.

（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，已知側(cè)面與底面垂直，且，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐為正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面的中心），并求此三棱錐體積．