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已知函數（為自然對數的底數）.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，若對任意的恒成立，求實數的值；
（Ⅲ）求證：.

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一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分。共60分。

CBDDD   ABDAB    DA

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，共16分。

(13)     (14)  ―192    (15)    (16) ①③④

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

(17)(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………………1分

依題意            …………………………………………2分

又               

                      …………………………………………4分

              …………………………………………5分

令 x=0,得    ………………………7分

所以， 函數的解析式為 ……………………………8分

（還有其它的正確形式，如：等）

（Ⅱ）當，時單增     ……10分

即，           …………………………………………11分

∴的增區間是   ………………………………………12分

（注意其它正確形式，如：區間左右兩端取開、閉，等）

 (18)(本小題滿分12分)  

解：(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為，

由題設知，∴，∴

則，∴………………………………3分

∴

又∵，

∴，

又，∴，

∴，又

∴，

∴………………………………………………………6分

(Ⅱ) ，……………………………………7分

∴

  ①

 ②……………………………9分

①一②得

∴………………………………………………………12分

(19)(本小題滿分12分)

解：（1）設,∵幾何體的體積為，

∴，      ………………………3分

即，

即，解得．

∴的長為4．                ……………………………6分

（2）在線段上存在點，使直線與垂直．     

以下給出兩種證明方法：

方法1：過點作的垂線交于點，過點作 

交于點．

∵，，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．      

在矩形中，∵∽，

∴，即，∴．

∵∽，∴，即，∴．………………………9分

在中，∵，∴．

由余弦定理，得

．………………………11分

∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為． ………………………12分

方法2：以點為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，，，，   ………………………7分

假設在線段上存在點≤≤2，，0≤≤

使直線與垂直，過點作交于點．

由∽，得，

∴．

∴．

∴，．

∵，∴，

即，∴．   ……………………9分    

此時點的坐標為，在線段上．

∵，∴．……………11分

∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為． ……………………12分

 (20)(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………………………1分

，

，

，

.                  　　　　　   　  ……………………4分

其分布列為：

0

1

2

3

4

…………………………6分

 (Ⅱ)，

 .                            　　　　   …………………………8分

由題意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

 (21)(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)因為，所以有

所以為直角三角形；…………………………2分

則有

所以，…………………………3分

又，………………………4分

在中有

即，解得

所求橢圓方程為…………………………6分

 (Ⅱ)

從而將求的最大值轉化為求的最大值…………………………8分

是橢圓上的任一點，設，則有即

又，所以………………………10分

而,所以當時，取最大值

故的最大值為…………………………12分

 (22)(本小題滿分14分)

（1）解法1：∵，其定義域為，  

∴．                 ……………………1分

∵是函數的極值點，∴，即．                                          

∵，∴．                                              

經檢驗當時，是函數的極值點，

∴．　                                  ……………………5分          

解法2：∵，其定義域為，

∴．                ……………………1分

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，……………………3分

當變化時，，的變化情況如下表：

―

0

＋

極小值

依題意，，即，……………………5分

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的