題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的
倍，P為側棱SD上的點。
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。
（本小題滿分12分）如圖，四棱錐
中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面
垂直，底面ABCD是面積為
的菱形，
為銳角，M為PB的中點。
（1）求證
（2）求二面角
的大小
（3）求P到平面
的距離
（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4
。
（I）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD。
（II）求四棱錐P—ABCD的體積。
（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E為PA的中點，過E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側棱相交于點F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求異面直線AF與BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.
（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E為PA的中點，過E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側棱相交于點F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求異面直線AF與BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.
一、選擇題: CCBCD DCDBB C A
二、填空題: 13.
45 14. 30 15. 
16. 
三、解答題:17.解: （1） 
………1分
，化簡得
…3分
（2）
)
令
Z），函數f(α)的對稱軸方程為
Z).……12分
18.解：（1）油罐沒被引爆分兩種情形：
①5發子彈只有1發擊中，其概率為：
②5發子彈全沒有擊中，其概率為
（2）
的可能取值為2，3，4，5.
∴的分布列為：
2
3
4
5
P
的數學期望為：E=2×+3×
+4×
+5×
=
.……………………12分
19. （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……(3分) 又BC
平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……5分
（2）解：過A作AF∥BC，交CD于F，以A為原點，AF，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
設PA=AB=BC=a,則A(0,0,0), B(0,a,0)，C(a,a,0), P(0,0,a), E(0, 
.……………………………………8分
設n1=(x,y,1)為平面AEC的一個法向量， 則n1⊥
，n1⊥
,
∴
解得x=
, y=-,∴n1=(,-,1).
設n2=(x′,y′,1)為平面PBC的一個法向量，同理可得n2=(0,1,1).…………11分
cos<n1,n2>=
=
∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為
.…12分
20. 解：（1）由an+1=2an+n+1可得an+1+(n+1)+2=2(an+n+2),
所以數列{an+n+2}是一個公比為2的等比數列，其首項為a1+1+2=-1+1+2=2,
于是an+n+2=2?2n-1=2n.…………(10分) 故an=2n-n-2.
{an}的前n項和Sn=
……6分
（2）證明：假設{an}是等比數列，設其首項為a1,
則a2=2a1+2,
a3=2a2+3=4a1+7,………(8分)于是有(2a1+2)2=a1(4a1+7)，解得：a1=-4,于是公比
,這時a4=a1q3=(-4)×(
)3=-
.…………………10分
但是由題中所給遞推公式，a4=2a3+4=8a1+18=-14，二者矛盾，所以{an}不可能是等比數列.……………………12分
21.解：（1）設橢圓C的方程為
半焦距為c，依題意有
|PF|=|F1F2|=2c
∴
解得
，∴b=1. ∴所求橢圓方程為
…4分
（2）由
得
.
設點A、B的坐標分別為A(x1, y1)、B(x2,y2),
……………………6分
.
①當m=0時，點A、B關于原點對稱，則λ=0.②當m≠0時，點A、B不關于原點對稱，則λ≠0.
∵點Q在橢圓上，∴有
……………8分
化簡得4m2(1+2k2)=
∵
∵直線與橢圓交于不同的兩點，△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2) ∴ (1+2k2-m2)>0,
1+2k2>m2.(**)…(10分)由（*）（**）可得4m2>
.∵m≠0, ∴
綜上，實數
的取值范圍是(-2,2).………………………………………12分
22.解：（1）函數f(x)的定義域為：（-∞, -1）∪(-1, +∞),……………………1分
∵
…………………………………2分
令
令
得x<-2或-1<x<0.
則函數f(x)的遞增區間是(-2,-1), (0, +∞),遞減區間是（-∞, -2）, (-1, 0).………4分
（2）由（1）知，f(x)在[
上遞減，在[0，e-1]上遞增，又
，故m> e2-2時，不等式恒成立.……8分
（3）依題意，原命題等價于方程x-a+1-ln(1+x)2=0在x∈[0, 2]上有兩個相異的實根，……9分
記h(x)=x-a+1-ln(1+x)2, 則h′(x)=1-
令h′(x)>0，得x<-1或x>1，令h′(x)<0，得-1<x<1.
∴h(x)在[0, 1)上遞減，在(1,2]上遞增.………………10分
為使h(x)在[0,2]上恰好有兩個相異的實根，只須h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一個實根，于是有
即a的取值范圍是(2-ln2, 3-ln3].…………14分
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