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選修4－4不等式選講）
已知f(x)＝定義在區間[－1，1]上,設x₁，x₂∈[－1，1]且x₁≠x₂．
(1)求證: | f(x₁)－f(x₂)|≤| x₁－x₂|
(2)若a²＋b²＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a≥-8     6．64       7．（1）(3)(4)  8．6    9． 　 10．  11．1　     12．   13．(－∞，1)

14．，提示：設，則，故為增函數，由a＜b，有，也可以考慮特例，如f(x)=x²

二、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

15．（1）                     

                                          5分

即

為等腰三角形.                                             8分

（2）由（I）知

                        12分

                                                           14分

16．（1）由圖形可知該四棱錐和底面ABCD是菱形，且有一角為，邊長為2，

錐體高度為1。

設AC，BD和交點為O，連OE，OE為△DPB的中位線，

OE//PB，                                             3分

EO面EAC，PB面EAC內，PB//面AEC。          6分

（2）過O作OFPA垂足為F , 

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

過B作PA的垂線BF，垂足為F，連DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,進而得PF=               

即當時，PA面BDF，                       12分

此時F到平面BDC的距離FH=

            14分

17．(1)                     4分

橢圓方程為                                7分

（2）         10分

＝2       14分

所以P在DB延長線與橢圓交點處，Q在PA延長線與圓的交點處，得到最大值為．  15分

18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，                          4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+－－

=       （）                                        7分

（2）“平板車要想順利通過直角走廊”即對任意角（），平板車的長度不能超過，即平板車的長度；記 ，有=，

===，                                            10分

此后研究函數的最小值，方法很多；如換元（記，則）或直接求導，以確定函數在上的單調性；當時取得最小值。                    15分

19． (1)點(n，)在直線y＝x＋上，∴＝n＋，即S_n＝n²＋n，

a_n＝n＋5．                                                                     3分

∵b_n+2－2b_n+1＋b_n＝0(nÎN^*)，∴b_n+2－b_n+1＝ b_n+1－b_n＝…＝ b₂－b₁．

∴數列{b_n}是等差數列，∵b₃＝11，它的前9項和為153，設公差為d，

則b₁＋2d＝11，9b₁＋×d＝153，解得b₁＝5，d＝3．∴b_n＝3n＋2．                  6分

(2)由(1)得，c_n＝ ＝ ＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(1－)．                                                           9分

∵T_n＝(1－)在nÎN^*上是單調遞增的，∴T_n的最小值為T₁＝．

∵不等式T_n＞對一切nÎN^*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整數k的值為18．11分

(3) nÎN^*，f(n)＝＝

當m為奇數時，m＋15為偶數；當m為偶數時，m＋15為奇數．

若f(m＋15)＝5f(m)成立，則有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m為奇數)

或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m為偶數)．                                      13分

解得m＝11．所以當m＝11時，f(m＋15)＝5f(m)．                             16分

20．（1）．                                       2分

  　當時，，在上單調遞增；                     3分

 　 當時，時，，在上單調遞減；         

時，，在上單調遞增．                 5分

綜上所述，當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為．                                         6分

（2）充分性：a=1時，由（1）知，在x=1處有極小值也是最小值，

即。而在上單調遞減，在上單調遞增，

在上由唯一的一個零點x=1．                               9分

必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a處有極小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．

令，．

當時，，在上單調遞增；當a>1時，，

在上單調遞減。，=0只有唯一解a=1．

=0在上有唯一解時必有a=1．                           12分

綜上：在a>0時，=0在上有唯一解的充要條件是a=1．

（3）證明：∵1<x<2,∴.

 令，∴，14分

由（1）知，當a=1時，，∴，∴．

∴，∴F（x）在（1，2）上單調遞增，∴，

∴。∴．             16分

附加題答案

1．解：如圖，連結OC，因,因此,由于,

所以，又得;      5分   

又因為,得,那么,

從而，于是。            10分   

2．解：設A=，由題知=，=3 

即，                      5分

 ∴         ∴A=       10分

3．解： 直線的參數方程為 為參數）故直線的普通方程為  3分

   因為為橢圓上任意點，故可設其中.

  因此點到直線的距離是            7分

所以當，時，取得最大值.                              10分 

4. 證（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂|                       5分   

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵    ，

∴                     10分

 5.解：（1）為實數，即為實數，  ∴b＝3            2分

又依題意，b可取1，2，3，4，5，6

故出現b＝3的概率為

即事件“為實數”的概率為                                            5分

（2）由已知，                           6分

可知，b的值只能取1、2、3                          

當b＝1時， ，即a可取1，2，3

當b＝2時， ，即a可取1，2，3

當b＝3時， ，即a可取2                

由上可知，共有7種情況下可使事件“”成立                           9分

又a，b的取值情況共有36種

故事件“”的概率為                                           10分

6.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

       ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA

∴A₁B與平面A₁C₁CA所成角的正切值               3分

（2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角

    平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  

   , 

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為     6分

（3）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD .

其位置為AC中點，證明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F ，F為AC中點 ∴C₁F⊥A₁D  ∴EF⊥A₁D

同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD

∵E為定點，平面A₁BD為定平面,點F唯一            10分

解法二：（1）同解法一                               3分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點, 建立如圖所示的坐標系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）

  設平面A₁BD的法向量為

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0） 

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值為               6分

（3）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當且僅當//

∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點        10分